Проверь себя! Глава 3 ГДЗ Ткачёва 5 класс (Математика)

I уровень
1. Не производя вычислений, определить, значения каких выражений делятся на 7:
1) 36 · 49 + 14 · 60; 2) 21 · 30 + 15 · 8; 3) 538 · 28.
2. Среди чисел 900, 695, 738, 570 найти такие, которые: 1) делятся на 2; 2) делятся на 3; 3) делятся на 5; 4) делятся на 9; 5) делятся на 10.
3. Найти НОД и НОК чисел: 1) 9 и 6; 2) 54 и 28.
4. Выполнить деление с остатком числа 2658 на 13 и сделать проверку.
5. Прочитать диалоги из § 17.
1) Существует ли самое большое простое число? 2) Что доказал П. Л. Чебышёв о существовании простых чисел? 3) Какие числа называют совершенными? Сколько таких чисел сегодня известно?
II уровень
1. Верно ли высказывание: «Если каждое из двух чисел не делится на 6, то и их сумма не делится на 6»?
2. Дописать справа от числа 723 одну цифру так, чтобы полученное четырёхзначное число делилось и на 9, и на 4.
3. Записать все делители числа 48.
4. Из чисел: 8, 15, 10, 13 — составить все возможные пары взаимно простых чисел.
5. Не выполняя вычислений, установить, простым или составным числом является значение выражения 7 · 8 · 11 · 27 + 11.
6. Найти НОК и НОД чисел 1925, 70 и 105.
7. Найти делитель, если делимое равно 355, неполное частное равно 27, а остаток — 4.
8. Прочитать диалоги из § 17.
1) Что такое решето Эратосфена? 2) Какие совершенные числа знали в шкапе Пифагора? 3) Объяснить, почему число 28 — совершенное.

I уровень

1) $$36 \cdot 49 + 14 \cdot 60 = 36 \cdot 7 \cdot 7 + 2 \cdot 7 \cdot 60 = 7 \cdot (36 \cdot 7 + 2 \cdot 60),$$ значит, выражение делится на 7.

2) $$21 \cdot 30 + 15 \cdot 8$$ не делится на 7, так как $$21 \cdot 30$$ делится на 7, а $$15 \cdot 8$$ не делится на 7.

3) $$538 \cdot 28$$ делится на 7, потому что множитель $$28$$ делится на 7.

2. Проверим сумму цифр:

$$900: 9+0+0=9$$
$$695: 6+9+5=20$$
$$738: 7+3+8=18$$
$$570: 5+7+0=12$$

1) На 2 делятся: $$900,\ 738,\ 570.$$

2) На 3 делятся: $$900,\ 738,\ 570.$$

3) На 5 делятся: $$900,\ 695,\ 570.$$

4) На 9 делятся: $$900,\ 738.$$

5) На 10 делятся: $$900,\ 570.$$

3. Разложим числа на простые множители:

$$9=3 \cdot 3,\quad 6=2 \cdot 3,$$
$$54=2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3,\quad 28=2 \cdot 2 \cdot 7.$$

1) $$\gcd(9,6)=3,$$ $$\operatorname{lcm}(9,6)=18.$$

2) $$\gcd(54,28)=2,$$ $$\operatorname{lcm}(54,28)=756.$$

4. Выполним деление с остатком:

$$2658:13=204 \text{ (ост. }6\text{)}.$$

Проверка:

$$13 \cdot 204 + 6 = 2652 + 6 = 2658.$$

5. Диалоги из § 17:

1) Самого большого простого числа не существует.

2) П. Л. Чебышёв доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, в 2 раза его большим, всегда найдётся хотя бы одно простое число.

3) Совершенные числа — это числа, равные сумме всех своих делителей, кроме самого числа. Сегодня известно 48 таких чисел.

II уровень

1. Высказывание неверно. Например, числа 7 и 5 не делятся на 6, но их сумма $$7+5=12$$ делится на 6.

2. Пусть дописанная цифра — $$x$$. Тогда число имеет вид $$723x$$.

Чтобы число делилось на 9, сумма цифр должна делиться на 9:

$$7+2+3+x=12+x.$$

Чтобы число делилось на 4, последние две цифры $$3x$$ должны делиться на 4. Подходит только $$36$$, значит, $$x=6$$.

Получаем число $$7236$$, оно делится и на 9, и на 4.

3. Делители числа 48:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 16,\ 24,\ 48.$$

4. Разложим числа на множители:

$$8=2 \cdot 2 \cdot 2,\quad 15=3 \cdot 5,\quad 10=2 \cdot 5,\quad 13 \text{ — простое число}.$$

Взаимно простые числа не имеют общих делителей, кроме 1. Тогда пары взаимно простых чисел:

$$8 \text{ и } 15,\quad 8 \text{ и } 13,\quad 15 \text{ и } 13,\quad 10 \text{ и } 13.$$

5. $$7 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 27 + 11 = 11 \cdot (7 \cdot 8 \cdot 27 + 1).$$

Это число составное, так как делится на 11 и больше 11.

6. Разложим числа на простые множители:

$$1925=5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11,$$
$$70=2 \cdot 5 \cdot 7,$$
$$105=3 \cdot 5 \cdot 7.$$

НОД равен произведению общих простых множителей с наименьшими степенями:

$$\gcd(1925,70,105)=5 \cdot 7=35.$$

НОК равен произведению всех простых множителей с наибольшими степенями:

$$\operatorname{lcm}(1925,70,105)=2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11=11550.$$

7. Найдём делитель:

$$355=27 \cdot d + 4,$$

$$d=\frac{355-4}{27}=\frac{351}{27}=13.$$

8. Диалоги из § 17:

1) Решето Эратосфена — это способ нахождения простых чисел.

2) В школе Пифагора знали три совершенных числа: 6, 28 и 496.

3) Число 28 совершенное, потому что сумма его делителей, меньших самого числа, равна ему:

$$1+2+4+7+14=28.$$

Ответ

I уровень: 1) 1 и 3; 2) 900, 738, 570; 3) $$\gcd(9,6)=3,$$ $$\operatorname{lcm}(9,6)=18,$$ $$\gcd(54,28)=2,$$ $$\operatorname{lcm}(54,28)=756$$; 4) $$2658:13=204$$ (ост. 6); 5) см. выше.

II уровень: 1) неверно; 2) 6; 3) $$1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$$; 4) $$8$$ и $$15$$, $$8$$ и $$13$$, $$15$$ и $$13$$, $$10$$ и $$13$$; 5) составное; 6) $$\gcd=35,$$ $$\operatorname{lcm}=11550$$; 7) 13; 8) см. выше.