Упр.988 ГДЗ Ткачёва 5 класс (Математика)

1. Убедиться в том, что $$\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$, $$\frac{1}{3\cdot4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$, $$\frac{1}{4\cdot5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$$ и т. д. После этого кратчайшим способом найти сумму: $$\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\ldots+\frac{1}{18\cdot19}+\frac{1}{19\cdot20}.$$

Проверим равенства:

$$\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$
$$\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$
$$\frac{1}{4\cdot 5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$$

Действительно,

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

Тогда сумма

$$\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\dots+\frac{1}{18\cdot 19}+\frac{1}{19\cdot 20}$$

преобразуется так:

$$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\dots+\left(\frac{1}{18}-\frac{1}{19}\right)+\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right)$$

При сложении все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся:

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{10}{20}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20}$$

Ответ

$$\frac{9}{20}$$