Упр.988 ГДЗ Ткачёва 5 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Ткачёва 5 класс, Просвещение: 988. Исследуем. Убедиться в том, что 1/(2·3) = 1/2 — 1/3, 1/(3·4) = 1/3 — 1/4, 1/(4·5) = 1/4 — 1/5 и т. д. После этого кратчайшим способом найти сумму: 1/(2·3) + 1/(3·4) + 1/(4·5) + 1/(5·6) + … + 1/(18·19) + 1/(19·20). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 tkacheva5 988 54

Подробный ответ

Проверим равенства:

$$ \frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} $$
$$ \frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4} $$
$$ \frac{1}{4\cdot 5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5} $$

Действительно,

$$ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$

Тогда сумма

$$ \frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\dots+\frac{1}{18\cdot 19}+\frac{1}{19\cdot 20} $$

преобразуется так:

$$ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\dots+\left(\frac{1}{18}-\frac{1}{19}\right)+\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right) $$

При сложении все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся:

$$ \frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{10}{20}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20} $$