Упр.1018 ГДЗ Ткачёва 5 класс (Математика)

Исследуем. Убедиться в том, что $$\frac{1}{3\cdot5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right),\quad \frac{1}{5\cdot7}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right),\quad \frac{1}{7\cdot9}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)$$ и т. д. Не приводя дроби к общему знаменателю, доказать, что $$\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\frac{1}{9\cdot11}+\frac{1}{11\cdot13}+\frac{1}{13\cdot15}=\frac{2}{15}.$$

Проверим равенства:

$$\frac12\left(\frac13-\frac15\right) = \frac12\left(\frac{5-3}{3\cdot 5}\right) = \frac12\cdot \frac{2}{3\cdot 5} = \frac{1}{3\cdot 5}$$

$$\frac12\left(\frac15-\frac17\right) = \frac12\left(\frac{7-5}{5\cdot 7}\right) = \frac12\cdot \frac{2}{5\cdot 7} = \frac{1}{5\cdot 7}$$

$$\frac12\left(\frac17-\frac19\right) = \frac12\left(\frac{9-7}{7\cdot 9}\right) = \frac12\cdot \frac{2}{7\cdot 9} = \frac{1}{7\cdot 9}$$

Аналогично:

$$\frac{1}{9\cdot 11}=\frac12\left(\frac19-\frac1{11}\right),\quad \frac{1}{11\cdot 13}=\frac12\left(\frac1{11}-\frac1{13}\right),\quad \frac{1}{13\cdot 15}=\frac12\left(\frac1{13}-\frac1{15}\right)$$

Тогда

$$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 11}+\frac{1}{11\cdot 13}+\frac{1}{13\cdot 15}$$
$$=\frac12\left(\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\frac17-\frac19+\frac19-\frac1{11}+\frac1{11}-\frac1{13}+\frac1{13}-\frac1{15}\right)$$
$$=\frac12\left(\frac13-\frac1{15}\right) =\frac12\cdot \frac{15-3}{3\cdot 15} =\frac12\cdot \frac{12}{45} =\frac{2}{15}$$

Ответ

$$\frac{2}{15}$$