Упр.1018 ГДЗ Ткачёва 5 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Ткачёва 5 класс, Просвещение: 1018. Исследуем. Убедиться в том, что 1/(3·5) = 1/2 · (1/3 — 1/5), 1/(5·7) = 1/2 · (1/5 — 1/7), 1/(7·9) = 1/2 · (1/7 — 1/9) и т.д. Не приводя дроби к общему знаменателю, доказать, что 1/(3·5) + 1/(5·7) + 1/(7·9) + 1/(9·11) + 1/(11·13) + 1/(13·15) = 2/15. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 tkacheva5 1018 54

Подробный ответ

Проверим равенства:

$$ \frac12\left(\frac13-\frac15\right) = \frac12\left(\frac{5-3}{3\cdot 5}\right) = \frac12\cdot \frac{2}{3\cdot 5} = \frac{1}{3\cdot 5} $$

$$ \frac12\left(\frac15-\frac17\right) = \frac12\left(\frac{7-5}{5\cdot 7}\right) = \frac12\cdot \frac{2}{5\cdot 7} = \frac{1}{5\cdot 7} $$

$$ \frac12\left(\frac17-\frac19\right) = \frac12\left(\frac{9-7}{7\cdot 9}\right) = \frac12\cdot \frac{2}{7\cdot 9} = \frac{1}{7\cdot 9} $$

Аналогично:

$$ \frac{1}{9\cdot 11}=\frac12\left(\frac19-\frac1{11}\right),\quad \frac{1}{11\cdot 13}=\frac12\left(\frac1{11}-\frac1{13}\right),\quad \frac{1}{13\cdot 15}=\frac12\left(\frac1{13}-\frac1{15}\right) $$

Тогда

$$ \frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 11}+\frac{1}{11\cdot 13}+\frac{1}{13\cdot 15} $$
$$ =\frac12\left(\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\frac17-\frac19+\frac19-\frac1{11}+\frac1{11}-\frac1{13}+\frac1{13}-\frac1{15}\right) $$
$$ =\frac12\left(\frac13-\frac1{15}\right) =\frac12\cdot \frac{15-3}{3\cdot 15} =\frac12\cdot \frac{12}{45} =\frac{2}{15} $$