Упр.819 ГДЗ Никольский Потапов 5 класс (Математика)

Задача

а) Найдите все несократимые дроби со знаменателем $$60$$, большие $$\frac{1}{3}$$, но меньшие $$\frac{1}{2}$$. Сколько таких дробей?
б) Найдите все несократимые дроби с числителем $$60$$, большие $$\frac{1}{3}$$, но меньшие $$\frac{1}{2}$$. Сколько таких дробей?

Подробный ответ

а) Пусть искомая дробь имеет вид $$\frac{x}{60}$$. Тогда

$$\frac{1}{3} < \frac{x}{60} < \frac{1}{2}$$
$$\frac{1\cdot 20}{3\cdot 20} < \frac{x}{60} < \frac{1\cdot 30}{2\cdot 30}$$
$$\frac{20}{60} < \frac{x}{60} < \frac{30}{60}$$

Значит, нужно взять числители от 21 до 29, которые взаимно просты с 60. Это числа $$23$$ и $$29$$.

Получаем дроби:

$$\frac{23}{60},\ \frac{29}{60}$$

Их две.

б) Пусть искомая дробь имеет вид $$\frac{60}{x}$$. Тогда

$$\frac{1}{3} < \frac{60}{x} < \frac{1}{2}$$
$$\frac{1\cdot 60}{3\cdot 60} < \frac{60}{x} < \frac{1\cdot 60}{2\cdot 60}$$
$$\frac{60}{180} < \frac{60}{x} < \frac{60}{120}$$

Теперь нужно выбрать несократимые дроби с числителем 60, лежащие между $$\frac{60}{180}$$ и $$\frac{60}{120}$$. Такими будут:

$$\frac{60}{179},\ \frac{60}{173},\ \frac{60}{169},\ \frac{60}{167},\ \frac{60}{163},\ \frac{60}{161},\ \frac{60}{157},\ \frac{60}{151},\ \frac{60}{149},\ \frac{60}{143},\ \frac{60}{139},\ \frac{60}{137},\ \frac{60}{133},\ \frac{60}{131},\ \frac{60}{127},\ \frac{60}{121}$$

Всего шестнадцать дробей.