Упр.722 ГДЗ Никольский Потапов 5 класс (Математика)

1. а) Имеются ли среди чисел $$2!,\ 3!,\ 4!,\ 5!,\ 6!,\ 7!,\ \ldots$$ (см. задачу 719) взаимно простые числа?
   б) Чему равен наибольший общий делитель чисел $$100!$$ и $$50!$$?
   в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел $$100!$$ и $$50!$$?

а) Для любых соседних факториалов верно:

$$(n+1)! = (n+1)\cdot n!$$

Значит, каждый следующий факториал делится на предыдущий. Поэтому любые два числа из ряда $$2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, \dots$$ имеют общий делитель больше 1, то есть взаимно простых среди них нет.

б) Так как $$100!$$ делится на $$50!$$, то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них:

$$\gcd(100!, 50!) = 50!$$

в) Если одно число делится на другое, то наименьшее общее кратное равно большему из них:

$$\operatorname{lcm}(100!, 50!) = 100!$$

Ответ

а) Нет, среди них нет взаимно простых чисел.
б) $$50!$$.
в) $$100!$$.