Упр.718 ГДЗ Никольский Потапов 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов, Решетников 5 класс, Просвещение: 718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 nikol5 718 54

Пусть записано трёхзначное число с различными цифрами $$abc=100a+10b+c.$$

После перестановки цифр получится другое число, например $$cba=100c+10b+a.$$

Разность этих чисел равна:

$$ cba-abc=(100c+10b+a)-(100a+10b+c) $$

$$ =100c+10b+a-100a-10b-c $$

$$ =99c-99a=99(c-a). $$

Значит, разность делится на $$9$$. По признаку делимости на $$9$$ сумма цифр этой разности тоже делится на $$9$$.

Если в полученной разности зачеркнуть одну цифру и назвать сумму оставшихся цифр, то по этой сумме можно восстановить зачёркнутую цифру: нужно найти, до какого числа, кратного $$9$$, не хватает этой суммы. Так как сумма цифр разности кратна $$9$$, зачёркнутая цифра определяется однозначно.

Например, если сумма незачёркнутых цифр равна $$12$$, то полная сумма цифр должна быть $$18$$, значит, зачёркнута цифра $$6$$.

Ответ

Фокус основан на том, что разность двух чисел, составленных из одних и тех же цифр, делится на $$9$$. Поэтому сумма цифр полученной разности тоже кратна $$9$$, и по ней можно найти зачёркнутую цифру.