Упр.696 ГДЗ Никольский Потапов 5 класс (Математика)

а) для взаимно простых чисел;
б) для любых чисел.

а) Если числа взаимно простые, то их наибольший общий делитель равен $$1$$. Тогда

$$ \text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b)=1\cdot \text{НОК}(a,b). $$

Так как для взаимно простых чисел $$\text{НОК}(a,b)=a\cdot b$$, получаем

$$ \text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b)=a\cdot b. $$

Например, для $$a=5$$ и $$b=11$$:

$$ \text{НОД}(5;11)=1,\quad \text{НОК}(5;11)=55, $$

$$ 1\cdot 55=55=5\cdot 11. $$

б) Для любых чисел разложим их на простые множители:

$$ a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},\qquad b=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}. $$

Тогда

$$ \text{НОД}(a,b)=p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)}p_2^{\min(\alpha_2,\beta_2)}\cdots p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)}, $$

$$ \text{НОК}(a,b)=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}p_2^{\max(\alpha_2,\beta_2)}\cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}. $$

Перемножим:

$$ \text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)+\max(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)+\max(\alpha_k,\beta_k)}. $$

Но для любых чисел $$x$$ и $$y$$ верно:

$$ \min(x,y)+\max(x,y)=x+y. $$

Значит,

$$ \text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b) = p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdots p_k^{\alpha_k+\beta_k} = a\cdot b. $$

Проверим на примере $$a=21$$, $$b=30$$:

$$ 21=3\cdot 7,\qquad 30=2\cdot 3\cdot 5, $$

$$ \text{НОД}(21;30)=3,\qquad \text{НОК}(21;30)=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210. $$

$$ 3\cdot 210=630,\qquad 21\cdot 30=630. $$

Равенство верно.

Ответ

$$\text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b)=a\cdot b.$$