Упр.576 ГДЗ Никольский Потапов 5 класс (Математика)

Периметры треугольников $$BCD$$, $$BDE$$ и $$ABE$$ равны соответственно 20 см, 21 см и 22 см, а периметр пятиугольника $$ABCDE$$ равен 31 см (рис. 120). Определите длины диагоналей $$BD$$ и $$BE$$, если известно, что они равны.

Запишем периметры через длины сторон:

$$P_{BCD}=BC+CD+BD=20$$
$$P_{BDE}=BD+DE+BE=21$$
$$P_{ABE}=AB+BE+AE=22$$
$$P_{ABCDE}=AB+BC+CD+DE+AE=31$$

Сложим периметры треугольников:

$$20+21+22=63$$

При этом получаем:

$$BC+CD+2BD+DE+2BE+AB+AE=63$$

Вычтем из этой суммы периметр пятиугольника:

$$(BC+CD+2BD+DE+2BE+AB+AE)-(AB+BC+CD+DE+AE)=63-31$$
$$2BD+2BE=32$$
$$BD+BE=16$$

По условию $$BD=BE$$, значит:

$$BD+BD=16$$
$$2BD=16$$
$$BD=8$$

Следовательно,

$$BE=8$$

Ответ

$$BD=BE=8\text{ см}$$