Упр.569 ГДЗ Никольский Потапов 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов, Решетников 5 класс, Просвещение: 569. Докажите, что длина ломаной АВС больше длины ломаной ADC.

Обозначим длины ломаных:

$$ABC=AB+BC,$$

$$ADC=AD+DC.$$

Нужно доказать, что

$$AB+BC>AD+DC.$$

Проведём отрезок $$DE$$ так, что точки $$A, D, E$$ лежат на одной прямой, а точки $$B, E, C$$ — на одной прямой. Тогда

$$AD+DE=AE,$$

$$BE+EC=BC.$$

Прибавим к обеим частям неравенства $$AB+BC>AD+DC$$ отрезок $$DE$$:

$$AB+BC+DE>AD+DC+DE.$$

С другой стороны, из равенств выше получаем:

$$BC=BE+EC,$$

$$AD+DE=AE.$$

Тогда левая часть равна

$$AB+BE+EC+DE,$$

а правая —

$$AE+DC.$$

Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$ECD$$. В треугольнике сумма двух сторон больше третьей, значит:

$$AB+BE>AE,$$

$$EC+DE>DC.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$AB+BE+EC+DE>AE+DC.$$

Подставляя $$BE+EC=BC$$ и $$AE=AD+DE$$, имеем:

$$AB+BC+DE>AD+DE+DC.$$

Вычтем $$DE$$ из обеих частей:

$$AB+BC>AD+DC.$$

Следовательно, длина ломаной $$ABC$$ больше длины ломаной $$ADC$$.

Ответ

$$ABC>ADC.$$