Упр.415 ГДЗ Никольский Потапов 5 класс (Математика)

Дан отрезок $$АВ$$. Постройте две окружности с центрами $$А$$ и $$В$$ и радиусом $$АВ$$. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами $$М$$ и $$N$$. Постройте отрезки $$АМ$$, $$АN$$, $$ВМ$$, $$ВN$$. Равны ли отрезки $$АВ$$, $$АМ$$, $$АN$$, $$ВМ$$ и $$ВN$$? Убедитесь, что прямая $$MN$$ делит отрезок $$АВ$$ пополам.

Пусть $$AB=5\text{ см}.$$ Тогда радиусы обеих окружностей равны $$AB,$$ значит

$$AM=AN=BM=BN=AB=5\text{ см}.$$

Следовательно, все отрезки $$AB, AM, AN, BM, BN$$ равны.

Обозначим точку пересечения прямой $$MN$$ с отрезком $$AB$$ через $$E.$$ Так как точки $$M$$ и $$N$$ лежат на окружностях с равными радиусами и имеют одинаковое расстояние до точек $$A$$ и $$B,$$ то прямая $$MN$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB.$$ Значит, точка $$E$$ — середина отрезка $$AB,$$ то есть

$$AE=BE.$$

Ответ

$$AB=AM=AN=BM=BN.$$ Прямая $$MN$$ делит отрезок $$AB$$ пополам.