Упр.718 ГДЗ Мерзляк Полонский 5 класс (Математика)

Задача

К пяти разным замкам есть пять ключей, причём неизвестно, какой ключ к какому замку подходит. Барон Мюнхаузен утверждает, что можно не более чем за десять попыток подобрать ключ к каждому замку. Прав ли барон Мюнхаузен?

Подробный ответ

Переведём время одного круга второго велосипедиста в секунды: $$1\text{ мин}=60\text{ с}.$$

Найдём наименьшее общее кратное чисел $$60$$ и $$45$$:

$$60=2^2\cdot 3\cdot 5,$$

$$45=3^2\cdot 5.$$

Тогда

$$\text{НОК}(60;45)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180\text{ с}.$$

Это $$180\text{ с}=3\text{ мин}$$ — наименьшее время, через которое оба велосипедиста одновременно окажутся в месте старта.

За это время первый велосипедист сделает

$$180:60=3$$

круга, а второй —

$$180:45=4$$

круга.

Ответ

Через $$3$$ мин; первый — $$3$$ круга, второй — $$4$$ круга.

Ход решения

Пусть ключи и замки подбирают по одному. Возьмём первый ключ и попробуем открыть им все пять замков. В худшем случае он не подойдёт к первым четырём замкам, и тогда к пятому подойдёт обязательно. Значит, потребуется $$4$$ попытки.

Останется четыре замка и четыре ключа. Вторым ключом в худшем случае нужно сделать $$3$$ попытки.

Третьим ключом — $$2$$ попытки, четвёртым — $$1$$ попытка, а последний ключ подойдёт к последнему замку без выбора.

Всего получится:

$$4+3+2+1=10.$$

Значит, барон Мюнхаузен прав.