Упр.442 ГДЗ Мерзляк Полонский 5 класс (Математика)

Задача

Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел:
1) от 1 до 10 включительно; 3) от 10 до 30 включительно;
2) от 15 до 24 включительно; 4) от 1 до 100 включительно?
Переместительное свойство умножения:
От перестановки множителей произведение не меняется.
ab=ba
Сочетательное свойство умножения:
Для того, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
(ab)c=a(bc)
Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений.
То есть если в выражении есть только умножение, то умножение можно делать в любом порядке.
Число, которое оканчивается на 0, можно представить в виде произведения 10 и другого числа (например, 20=2•10,150==15•10).
Если нулей больше, то и десяток можно выделить столько же, сколько нулей (например, 700=7•10•10).
10 в свою очередь равно произведению чисел 2 и 5.
Значит, если в произведении есть число, делящееся на 5, и число, делящееся на 2, то произведение будет оканчиваться на 0.
Причём количество нулей будет равно количеству таких пар.
Например, произведение 25•16 будет иметь 2 нуля на конце:
25•16=5•5•2•2•4=(5•2)•(5•2)•4=10•10•4
4=2•2, но пятёрок больше нет, поэтому и нулей больше не будет.
1) 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10=1•3•4•6•7•8•9•10•10
Среди множителей есть число 10, это даст первый 0.
Умножение на 10 даёт 0 на конце произведения.
Кроме 10 есть ещё 5, к нему в пару можно взять любое чётное число, например, 2.
Это даст второй 0.
При умножении на 5 чётного числа в произведении получается 0 на конце.
Больше чисел, делящихся на 5, нет, поэтому и нулей больше не будет.
Таким образом, произведение оканчивается двумя нулями.
Числа в примерах идут подряд, поэтому чётных чисел намного больше, чем чисел, делящихся на 5.
Поэтому, можно ограничиваться подсчётом количества пятёрок.
Ответ: двумя нулями.
2) Среди чисел от 15 до 24 включительно число 20 оканчивается на 0.
Умножение на него даёт 0 на конце произведения.
Кроме 20 есть ещё 15, к нему в пару можно взять любое чётное число, например, 16.
15•16=5•3•2•8=5•2•3•8=10•3•8
Это даст второй 0.
Таким образом, произведение оканчивается двумя нулями.
Ответ: двумя нулями.
3) Среди чисел от 10 до 30 включительно числа 10, 20 и 30 оканчиваются на 0.
Умножение на них даёт 3 нуля на конце произведения.
Есть ещё число 15, оно даёт один нуль на конце.
Кроме этих чисел есть число 25, которое равно 5•5.
Оно даёт сразу два нуля.
Всего получается 1+2=3 нуля.
Таким образом, произведение оканчивается шестью нулями.
Ответ: шестью нулями.
4) Здесь есть такие числа, как 50=2•5•5, которые содержат две пятёрки и при этом оканчиваются на 0, это может запутать.
Поэтому считать количество чисел с нулями на конце и количество чисел, делящихся на 5, будет неправильно.
Надёжнее будет просто аккуратно пересчитать все пятёрки в этом произведении.
Числа идут подряд, поэтому каждое пятое число делится на 5.
Всего чисел 100.
100:5=20 (шт) – числа, делящиеся на 5.
Каждое двадцать пятое число делится на 25 (можно сказать, что они делятся на 5 дважды).
100:25=4 (шт) – числа, делящиеся на 25.
Числа, делящиеся на 25, содержат по две пятёрки, но они также относятся к числам, которые делятся на 5.
Посчитаем отдельно числа, делящиеся только на 5.
20-4=16 (шт) – числа, делящиеся только на 5.
Таким образом, 16 чисел дают по одной пятёрке, 4 числа дают по две пятёрки.
16•1+4•2=16+8=24 (шт) – количество пятёрок в произведении.
Так как пятёрок в произведении 24, то и нулей на конце произведения будет 24.
Ответ: 24 нулями.

Подробный ответ

Скорость удаления велосипедистов равна разности их скоростей:

$$12-9=3\text{ км/ч}$$

За 6 ч расстояние между ними увеличится на:

$$3\cdot 6=18\text{ км}$$

Ответ: 18 км.

Ход решения

Чтобы найти, сколько нулей будет в конце произведения, удобно считать, сколько в нём множителей 10, то есть пар чисел 2 и 5. Так как чётных чисел в каждом промежутке достаточно, считаем количество чисел, делящихся на 5, а для чисел, делящихся на 25, учитываем ещё одну пятёрку.

1) От 1 до 10 включительно:

$$10=2\cdot 5$$

Есть одно число, дающее один нуль, и ещё одно число 5, которое вместе с чётным множителем даёт второй нуль. Значит, произведение оканчивается двумя нулями.

Ответ: двумя нулями.

2) От 15 до 24 включительно:

$$15,\ 20$$

Число 20 даёт один нуль, число 15 вместе с чётным множителем даёт ещё один нуль. Значит, произведение оканчивается двумя нулями.

Ответ: двумя нулями.

3) От 10 до 30 включительно:

Числа, дающие пятёрки: $$10,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30.$$

Число 25 даёт две пятёрки, остальные — по одной. Тогда всего пятёрок:

$$1+1+1+2+1=6$$

Значит, произведение оканчивается шестью нулями.

Ответ: шестью нулями.

4) От 1 до 100 включительно: