Упр.1051 ГДЗ Мерзляк Полонский 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 5 класс, Просвещение: Серёжа и Саша играют в такую игру: они по очереди берут камешки из кучки, в которой лежит 100 камешков. За один ход каждому разрешается взять или 1 камешек, или 3. Кто из них возьмёт последний камешек, если игру начинает Серёжа? Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 merzlyak5 1051 54

Если бы Серёжа взял последний камешек, то после его хода в кучке осталось бы $$0$$ камешков. Но тогда перед его ходом в кучке должно было быть либо $$1$$, либо $$3$$ камешка, а это невозможно получить из числа $$100$$ за ходы, в каждом из которых убирают только $$1$$ или $$3$$ камешка: после каждого хода число камешков меняется на чётное число, значит, чётность количества камешков сохраняется.

Так как в начале было $$100$$ камешков — число чётное, то после хода Серёжи в кучке всегда будет оставаться нечётное число камешков. Следовательно, до последнего хода Серёжи в кучке не может оказаться $$1$$ или $$3$$ камешка, а значит, последний камешек возьмёт Саша.

Для гномов рассуждаем от противного. Предположим, что не все гномы одного роста. Тогда среди них есть самый высокий гном. Его рост равен среднему арифметическому ростов двух соседей. Но среднее арифметическое двух чисел не может быть больше каждого из них, значит, оба соседа этого гнома имеют такой же рост, как и он.

Тогда у каждого из этих соседей тоже рост равен среднему арифметическому ростов их соседей, значит, и их соседи имеют такой же рост. Продолжая так, получаем, что все гномы имеют одинаковый рост.

Противоречие с предположением. Значит, все гномы были одного роста.

Ответ: последний камешек возьмёт Саша; все гномы одного роста.