Упр.1046 ГДЗ Мерзляк Полонский 5 класс (Математика)

Задача

Вычислите значение выражения $$\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\ldots+\frac{1}{19\cdot20}$$.
Купили 2 кг конфет одного вида по 255 р. за килограмм, 4 кг конфет второго вида по 285 р. за килограмм и ещё 3 кг конфет третьего вида. Средняя цена купленных конфет составляла 260 р. за килограмм. Сколько стоил килограмм конфет третьего вида?

Подробный ответ

1) Преобразуем сумму:

$$\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\dots+\frac{1}{19\cdot 20}$$

Каждую дробь представим в виде разности:

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\dots+\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right)$$

При сложении все промежуточные слагаемые сокращаются:

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{10}{20}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20}$$

2) Пусть килограмм конфет третьего вида стоит $$x$$ руб. Тогда за 3 кг заплатили $$3x$$ руб.

Стоимость первых двух видов:

$$2\cdot 255=510$$

$$4\cdot 285=1140$$

Всего купили:

$$2+4+3=9\text{ кг}$$

По условию средняя цена равна 260 руб. за килограмм, значит общая стоимость всех конфет:

$$9\cdot 260=2340$$

Составим уравнение:

$$510+1140+3x=2340$$