Упр.5.42 ГДЗ Дорофеев Шарыгин 5 класс (Математика)

Задача

— найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин;
— умножить это число на число вершин;
— разделить результат на 2 (объясните почему).
Сколько диагоналей у семиугольника, десятиугольника, стоугольника?

Подробный ответ

Из одной вершины многоугольника можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних с ней. Значит, из одной вершины выходит $$n-3$$ диагонали, где $$n$$ — число вершин многоугольника.

Если умножить $$n-3$$ на $$n$$, то каждая диагональ будет посчитана дважды: один раз с одного конца и второй раз с другого. Поэтому нужно разделить результат на 2.

Тогда число диагоналей равно:

$$\frac{n(n-3)}{2}$$

Для семиугольника:

$$\frac{7(7-3)}{2}=\frac{7\cdot 4}{2}=14$$

Для десятиугольника:

$$\frac{10(10-3)}{2}=\frac{10\cdot 7}{2}=35$$

Для стоугольника:

$$\frac{100(100-3)}{2}=\frac{100\cdot 97}{2}=4850$$