Упр.2.51 ГДЗ Дорофеев Шарыгин 5 класс (Математика)

Задача

Сколько существует на координатной прямой пар точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки $$M(50)$$, координаты которых — натуральные числа? Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удалённых точек. Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

Подробный ответ

Пусть координаты искомых точек равны $$x$$ и $$y$$. Они должны быть натуральными числами и находиться на одинаковом расстоянии от точки $$M(50)$$, значит

$$50-x= y-50.$$

Тогда точки расположены симметрично относительно числа $$50$$, то есть

$$x+y=100.$$

Нужно найти все пары натуральных чисел, сумма которых равна $$100$$, при этом точки считаются парой без учёта порядка. Таких пар:

$$1 \text{ и } 99,$$
$$2 \text{ и } 98,$$
$$3 \text{ и } 97,$$
$$\ldots$$
$$49 \text{ и } 51.$$

Всего пар:

$$49.$$

Ближайшая к точке $$50$$ пара — $$49$$ и $$51$$, так как расстояние до точки $$50$$ равно $$1$$.

Наиболее удалённая пара — $$1$$ и $$99$$, так как расстояние до точки $$50$$ равно $$49$$.