Упр.1.25 ГДЗ Дорофеев Шарыгин 5 класс (Математика)

2) В некотором городке всего три попарно пересекающиеся прямолинейные улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Сколько всего светофоров в этом городке? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?

1) Если провести третью прямую так, чтобы она пересекала каждую из двух данных прямых и не проходила через их общую точку, то получится три точки пересечения: одна — у первых двух прямых и ещё две — с третьей прямой.

2) При трёх попарно пересекающихся улицах каждая пара улиц даёт один перекрёсток. Значит, всего перекрёстков:

$$3$$

После прокладки новой улицы, пересекающей все старые и не проходящей через уже имеющиеся перекрёстки, она пересечёт каждую из трёх улиц в новой точке. Значит, добавится ещё $$3$$ перекрёстка.

Тогда всего светофоров станет:

$$3+3=6$$

Если продолжать прокладку улиц таким же образом, то при каждой новой улице число перекрёстков увеличивается на число уже имеющихся улиц. Получаем:

$$ 3\ \text{улицы} \to 3\ \text{светофора} \\ 4\ \text{улицы} \to 3+3=6 \\ 5\ \text{улиц} \to 6+4=10 \\ 6\ \text{улиц} \to 10+5=15 \\ 7\ \text{улиц} \to 15+6=21 \\ 8\ \text{улиц} \to 21+7=28 \\ 9\ \text{улиц} \to 28+8=36 \\ 10\ \text{улиц} \to 36+9=45 $$

Значит, в городе с десятью улицами будет $$45$$ светофоров.

Ответ

1) $$3$$ точки пересечения.
2) $$6$$ светофоров; при десяти улицах — $$45$$ светофоров.