Упр.874 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

Какие из следующих дробей представимы в виде конечных десятичных:

а) $$\frac{25}{32}$$, $$\frac{842}{64}$$, $$\frac{3615}{20}$$, $$\frac{1111111}{25}$$, $$\frac{123123123}{320}$$;

б) $$\frac{555}{24}$$, $$\frac{789}{9}$$, $$\frac{1001}{55}$$, $$\frac{10011001}{66}$$, $$\frac{100110011001}{66}$$, $$\frac{222}{222222}$$, $$\frac{111111}{74}$$, $$\frac{999}{175}$$?

Подробный ответ

Дробь представима в виде конечной десятичной тогда и только тогда, когда в знаменателе несократимой дроби есть только простые множители $$2$$ и $$5$$.

Проверим дроби.

а)

$$\frac{25}{32}=\frac{25}{2^5},\quad \frac{842}{64}=\frac{842}{2^6},\quad \frac{3615}{20}=\frac{3615}{2^2\cdot 5},$$
$$\frac{1111111}{25}=\frac{1111111}{5^2},\quad \frac{123123123}{320}=\frac{123123123}{2^6\cdot 5}.$$

Во всех этих дробях в знаменателе после сокращения остаются только множители $$2$$ и $$5$$, значит, они представимы в виде конечных десятичных дробей.

б)

$$\frac{555}{24}=\frac{5\cdot 111}{2^3\cdot 3},\quad \frac{789}{9}=\frac{3\cdot 263}{3^2}=\frac{263}{3},$$
$$\frac{1001}{55}=\frac{7\cdot 11\cdot 13}{5\cdot 11}=\frac{7\cdot 13}{5},$$
$$\frac{10011001}{66}=\frac{7\cdot 13\cdot 73\cdot 137}{2\cdot 3\cdot 11},$$
$$\frac{100110011001}{66}=\frac{7^2\cdot 13^2\cdot 37\cdot 9901}{2\cdot 3\cdot 11},$$
$$\frac{222}{222222}=\frac{1}{1001},$$
$$\frac{111111}{74}=\frac{3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37}{2\cdot 37},$$
$$\frac{999}{175}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 37}{5\cdot 5\cdot 7}.$$

Здесь в знаменателях после сокращения остаются простые множители $$3$$, $$7$$, $$11$$ и другие, отличные от $$2$$ и $$5$$. Значит, конечными десятичными дробями являются только те, у которых после сокращения в знаменателе остаются лишь $$2$$ и $$5$$.

Это дроби:

$$\frac{555}{24},\quad \frac{1001}{55},\quad \frac{10011001}{66},\quad \frac{100110011001}{66}.$$

Ответ

а) $$\frac{25}{32},\ \frac{842}{64},\ \frac{3615}{20},\ \frac{1111111}{25},\ \frac{123123123}{320}$$;
б) $$\frac{555}{24},\ \frac{1001}{55},\ \frac{10011001}{66},\ \frac{100110011001}{66}$$.