Упр.854 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 854. Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Проверь справедливость записанных равенств для некоторых десятичных дробей, взяв значения букв по собственному выбору. Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей? Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 peterson5 part2/854 54

Подробный ответ

Запишем нужные свойства с помощью букв.

Переместительное свойство сложения: $$a+b=b+a.$$

Проверим, например, при $$a=3{,}6$$ и $$b=3{,}4$$:

$$3{,}6+3{,}4=7,$$
$$3{,}4+3{,}6=7.$$

Значит, $$3{,}6+3{,}4=3{,}4+3{,}6$$ — верно.

Сочетательное свойство сложения: $$a+(b+c)=(a+b)+c.$$

Проверим, например, при $$a=3{,}6$$, $$b=3{,}4$$, $$c=7{,}1$$:

$$3{,}6+(3{,}4+7{,}1)=3{,}6+10{,}5=14{,}1,$$
$$\bigl(3{,}6+3{,}4\bigr)+7{,}1=7+7{,}1=14{,}1.$$

Следовательно, $$3{,}6+(3{,}4+7{,}1)=(3{,}6+3{,}4)+7{,}1$$ — верно.

Правило вычитания числа из суммы: $$\left(a+b\right)-c=(a-c)+b=a+\left(b-c\right).$$

Проверим, например, при $$a=3{,}6$$, $$b=3{,}4$$, $$c=1{,}2$$:

$$\left(3{,}6+3{,}4\right)-1{,}2=7-1{,}2=5{,}8,$$
$$\left(3{,}6-1{,}2\right)+3{,}4=2{,}4+3{,}4=5{,}8,$$
$$3{,}6+\left(3{,}4-1{,}2\right)=3{,}6+2{,}2=5{,}8.$$

Значит, равенство верно.

Правило вычитания суммы из числа: $$a-\left(b+c\right)=\left(a-b\right)-c=\left(a-c\right)-b.$$

Проверим, например, при $$a=3{,}6$$, $$b=1{,}4$$, $$c=1{,}2$$:

$$3{,}6-\left(1{,}4+1{,}2\right)=3{,}6-2{,}6=1,$$
$$\left(3{,}6-1{,}4\right)-1{,}2=2{,}2-1{,}2=1,$$
$$\left(3{,}6-1{,}2\right)-1{,}4=2{,}4-1{,}4=1.$$

Следовательно, равенство верно.

По нескольким примерам нельзя сделать окончательный вывод о справедливости правил для всех десятичных дробей: проверка на частных случаях не является доказательством. Но эти свойства можно доказать в общем случае, так как они являются известными свойствами действий с числами и справедливы для любых чисел, в том числе для десятичных дробей.