Упр.767 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 767. Витя нашел такое наименьшее из возможных натуральных чисел, при умножении которого на 2 получается точный квадрат, а при умножении на 3 — точный куб. Какое это число?

Пусть искомое число равно $$n$$. Тогда число $$2n$$ должно быть точным квадратом, а число $$3n$$ — точным кубом.

Рассмотрим разложение числа на простые множители. Чтобы $$2n$$ было квадратом, все показатели степеней в разложении должны быть чётными. Чтобы $$3n$$ было кубом, все показатели степеней должны делиться на 3.

Значит, в разложении $$n$$ показатели степеней должны одновременно дополнять их до чётных чисел и до чисел, кратных 3. Наименьший такой показатель — $$2$$ для числа $$2$$ и $$1$$ для числа $$3$$, то есть нужно взять

$$n=2^2\cdot 3^1=12.$$

Проверим:

$$2\cdot 12=24,$$

это не квадрат. Значит, такой выбор не подходит.

Подберём число по условию точнее. Нужно, чтобы при умножении на $$2$$ получался квадрат, а при умножении на $$3$$ — куб. Проверим наименьшие числа, которые делятся на $$3$$ и дают куб после деления на $$3$$:

$$27:3=9,$$ а $$9\cdot 2=18$$ — не квадрат.

$$216:3=72,$$ а $$72\cdot 2=144=12^2,$$ то есть квадрат.

Следовательно, искомое число — $$72$$.

Ответ

72