Упр.765 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

— Чем же, сынок? — спросил отец.
— А вот смотри, если прибавить к твоему возрасту, 38 годам, число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим полный квадрат.
— Да, действительно, 38 + 83 = 121 = 11^2, — согласился отец. — А вот теперь давай проверим, не случится ли подобное ещё через несколько лет, — предложил он сыну.
И они решили эту задачу. Реши её и ты.

Подробный ответ

Пусть возраст отца записывается двумя цифрами $$\overline{ab}=10a+b$$, тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $$\overline{ba}=10b+a$$.

По условию их сумма должна быть полным квадратом:

$$ (10a+b)+(10b+a)=m^2 $$

$$ 11a+11b=m^2 $$

$$ 11(a+b)=m^2 $$

Значит, число $$m^2$$ делится на 11. Тогда и $$m$$ делится на 11, поэтому наименьший возможный квадрат — это $$121=11^2$$.

Следовательно,

$$ 11(a+b)=121 $$

$$ a+b=11 $$

Для двухзначного возраста это возможно при таких парах цифр: $$2$$ и $$9$$, $$3$$ и $$8$$, $$4$$ и $$7$$, $$5$$ и $$6$$.

Значит, подходящие возраста отца: $$29$$, $$38$$, $$47$$, $$56$$, $$65$$, $$74$$, $$83$$, $$92$$.

Так как сейчас отцу $$38$$ лет, то следующий такой случай будет при возрасте $$47$$ лет. Разница:

$$ 47-38=9 $$