Упр.735 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
I 1) Упрости выражения: 2^3 · 2^4, 7^2 · 7^3, 9^4 · 9^2. Что общего у всех этих выражений? Можно ли упростить произведение 5^6 · 3^2 ? Почему?
2) Как короче записать произведения: a^3 · а^2, а^5 · а^4, а^2 · а^5? Сформулируй гипотезу о том, как умножить степени с одинаковыми основаниями а^m · a^n, и запиши её в буквенном виде.
3) Какой смысл следует придать выражению а^0 (а ? 0), чтобы предложенное тобой правило не нарушалось?
II 1) Упрости выражения: 5^6 : 5^2, 11^7 : 11^4, 4^5 : 4^2. Что общего у всех этих выражений? Можно ли упростить частное 7^4 : 4^2? Почему?
2) Как короче записать частные: а^7 : а^3, a^6 : а^4, а^5 : а^2 (а ? 0)? Сформулируй гипотезу о том, как разделить степени с одинаковыми основаниями а^m : а^n при а ? 0, и запиши её в буквенном виде.
3) Какой смысл следует придать выражению а^0 (а ? 0), чтобы предложенное тобой правило не нарушалось?
III 1) Объясни смысл выражения (5^2)^3. Представь его в виде степени с основанием 5. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для других аналогичных случаев.
2) Упрости выражения: (а^3)^2, (а^2)^4, (а^5)^3. Сформулируй гипотезу о возведении степени в степень (а^m)^n при а ? 0, запиши её в буквенном виде.
I.
1) Упростим выражения:
$$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$$
$$7^2 \cdot 7^3 = 7^{2+3} = 7^5$$
$$9^4 \cdot 9^2 = 9^{4+2} = 9^6$$
Во всех выражениях одинаковое основание.
Произведение $$5^6 \cdot 3^2$$ упростить нельзя, потому что у степеней разные основания.
2) Запишем короче произведения:
$$a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$$
$$a^5 \cdot a^4 = a^{5+4} = a^9$$
$$a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7$$
Гипотеза: чтобы найти произведение степеней с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а показатели сложить:
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
3) Чтобы правило не нарушалось, нужно считать, что
$$a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$$
II.
1) Упростим выражения:
$$5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$$
$$11^7 : 11^4 = 11^{7-4} = 11^3$$
$$4^5 : 4^2 = 4^{5-2} = 4^3$$
Во всех выражениях одинаковое основание.
Частное $$7^4 : 4^2$$ упростить нельзя, потому что у степеней разные основания.
2) Запишем короче частные:
$$a^7 : a^3 = a^{7-3} = a^4$$
$$a^6 : a^4 = a^{6-4} = a^2$$
$$a^5 : a^2 = a^{5-2} = a^3 \quad (a \ne 0)$$
Гипотеза: чтобы найти частное степеней с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя делимого вычесть показатель делителя:
$$a^m : a^n = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$
3) Тогда
$$a^m : a^0 = a^m : 1 = a^{m-0} = a^m$$
Значит, $$a^0 = 1$$ при $$a \ne 0$$.
III.
1) Выражение $$\left(5^2\right)^3$$ означает, что число $$5^2$$ нужно возвести в третью степень:
$$\left(5^2\right)^3 = (5 \cdot 5)^3 = (5 \cdot 5)(5 \cdot 5)(5 \cdot 5) = 5^6$$
Получилось, что показатели перемножаются. Проверка на других примерах показывает то же самое.
2) Упростим выражения:
$$\left(a^3\right)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$$
$$\left(a^2\right)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$$
$$\left(a^5\right)^3 = a^{5 \cdot 3} = a^{15}$$
Гипотеза: чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить прежним, а показатели перемножить:
$$\left(a^m\right)^n = a^{mn}$$
Ответ
I: $$2^7,\ 7^5,\ 9^6;\ a^m \cdot a^n = a^{m+n};\ a^0 = 1.$$
II: $$5^4,\ 11^3,\ 4^3;\ a^m : a^n = a^{m-n};\ a^0 = 1.$$
III: $$\left(5^2\right)^3 = 5^6;\ \left(a^m\right)^n = a^{mn}.$$
