Упр.693 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 693. Докажи истинность равенства: НОК (18, 24) · НОД (18, 24) = 18 · 24. Проверь, выполняется ли оно для чисел 42 и 70, а потом ещё для каких-нибудь двух чисел, которые ты возьмёшь по собственному усмотрению. Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать, что это свойство выполняется для всех натуральных чисел? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 peterson5 part1/693 54

Разложим числа на простые множители:

$$18=2\cdot 3\cdot 3,\qquad 24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3.$$

Тогда

$$\text{НОД}(18,24)=2\cdot 3=6,$$

$$\text{НОК}(18,24)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=72.$$

Проверим равенство:

$$\text{НОК}(18,24)\cdot \text{НОД}(18,24)=72\cdot 6=432,$$

$$18\cdot 24=432.$$

Значит,

$$\text{НОК}(18,24)\cdot \text{НОД}(18,24)=18\cdot 24,$$

что и требовалось доказать.

Проверим для чисел 42 и 70:

$$42=2\cdot 3\cdot 7,\qquad 70=2\cdot 5\cdot 7.$$

Тогда

$$\text{НОД}(42,70)=2\cdot 7=14,$$

$$\text{НОК}(42,70)=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210.$$

Проверка:

$$210\cdot 14=2940,$$

$$42\cdot 70=2940.$$

Равенство выполняется.

Возьмём ещё, например, числа 24 и 25:

$$24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3,\qquad 25=5\cdot 5.$$

Так как общих простых делителей нет, то

$$\text{НОД}(24,25)=1,$$

$$\text{НОК}(24,25)=24\cdot 25.$$

Тогда

$$\text{НОК}(24,25)\cdot \text{НОД}(24,25)=24\cdot 25,$$

то есть равенство тоже выполняется.

Из рассмотренных примеров можно сформулировать гипотезу: для любых натуральных чисел $$a$$ и $$b$$ верно

$$\text{НОК}(a,b)\cdot \text{НОД}(a,b)=a\cdot b.$$

На основании только примеров утверждать это для всех натуральных чисел нельзя: примеры подтверждают гипотезу, но не являются строгим доказательством.

Ответ

Для чисел $$18$$ и $$24$$ равенство верно; для $$42$$ и $$70$$ — тоже верно; для $$24$$ и $$25$$ — верно. Гипотеза: $$\text{НОК}(a,b)\cdot \text{НОД}(a,b)=ab$$ для любых натуральных $$a$$ и $$b$$. По одним примерам утверждать это для всех натуральных чисел нельзя.