Упр.693 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
- Докажи истинность равенства: $$\operatorname{НОК}(18,24)\cdot\operatorname{НОД}(18,24)=18\cdot24$$. Проверь, выполняется ли оно для чисел 42 и 70, а потом ещё для каких-нибудь двух чисел, которые ты возьмёшь по собственному усмотрению. Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать, что это свойство выполняется для всех натуральных чисел?
Разложим числа на простые множители:
$$18=2\cdot 3\cdot 3,\qquad 24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3.$$
Тогда
$$\text{НОД}(18,24)=2\cdot 3=6,$$
$$\text{НОК}(18,24)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=72.$$
Проверим равенство:
$$\text{НОК}(18,24)\cdot \text{НОД}(18,24)=72\cdot 6=432,$$
$$18\cdot 24=432.$$
Значит,
$$\text{НОК}(18,24)\cdot \text{НОД}(18,24)=18\cdot 24,$$
что и требовалось доказать.
Проверим для чисел 42 и 70:
$$42=2\cdot 3\cdot 7,\qquad 70=2\cdot 5\cdot 7.$$
Тогда
$$\text{НОД}(42,70)=2\cdot 7=14,$$
$$\text{НОК}(42,70)=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210.$$
Проверка:
$$210\cdot 14=2940,$$
$$42\cdot 70=2940.$$
Равенство выполняется.
Возьмём ещё, например, числа 24 и 25:
$$24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3,\qquad 25=5\cdot 5.$$
Так как общих простых делителей нет, то
$$\text{НОД}(24,25)=1,$$
$$\text{НОК}(24,25)=24\cdot 25.$$
Тогда
$$\text{НОК}(24,25)\cdot \text{НОД}(24,25)=24\cdot 25,$$
то есть равенство тоже выполняется.
Из рассмотренных примеров можно сформулировать гипотезу: для любых натуральных чисел $$a$$ и $$b$$ верно
$$\text{НОК}(a,b)\cdot \text{НОД}(a,b)=a\cdot b.$$
На основании только примеров утверждать это для всех натуральных чисел нельзя: примеры подтверждают гипотезу, но не являются строгим доказательством.
Ответ
Для чисел $$18$$ и $$24$$ равенство верно; для $$42$$ и $$70$$ — тоже верно; для $$24$$ и $$25$$ — верно. Гипотеза: $$\text{НОК}(a,b)\cdot \text{НОД}(a,b)=ab$$ для любых натуральных $$a$$ и $$b$$. По одним примерам утверждать это для всех натуральных чисел нельзя.
