Упр.667 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

[(5 3/8 : 1 11/32 — 6 3/5 : 3) · 4 1/6 — 2 1/6 : (3 1/12 — 2 · 1 3/8)]^2.
Найдём значение выражения.
Действия в числовых выражениях выполняются в следующем порядке:
— действия, записанные в скобках;
— умножение и деление;
— сложение и вычитание.
Для того, чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей.
Правило деления смешанных чисел — преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и делим полученные дроби.
[(5 3/8 :1 11/32-6 3/5 :3)•4 1/6-2 1/6 :(3 1/12-2•1 3/8)]^2=
=[((5•8+3)/8 :(1•32+11)/32-(6•5+3)/5 :3)•(4•6+1)/6-(2•6+1)/6 :(3 1/12-2•(1•8+3)/8)]^2=
=[(43/8 :43/32-33/5 :3)•25/6-13/6 :(3 1/12-2•11/8)]^2=
=[(43/8•32/43-33/(5•3))•25/6-13/6 :(3 1/12-2•11/8)]^2=
=[((43•32)/(8•43)-33/(5•3))•25/6-13/6 :(3 1/12-(2•11)/8)]^2=
=[((4•8)/8-(3•11)/(5•3))•25/6-13/6 :(3 1/12-(2•11)/(2•4))]^2=
=[(4-2 1/5)•25/6-13/6 :(3 1/12-2 3/4)]^2=
=[(3 5/5-2 1/5)•25/6-13/6 :(3 1/12-2 (3•3)/(4•3))]^2=
=[(3-2+5/5-1/5)•25/6-13/6 :(3 1/12-2 9/12)]^2=
=[(1+(5-1)/5)•25/6-13/6 :(2 1/12+1-2 9/12)]^2=
=[(1+4/5)•25/6-13/6 :(2 1/12+12/12-2 9/12)]^2=
=[1 4/5•25/6-13/6 :(2-2+1/12+12/12-9/12)]^2=
=[(1•5+4)/5•25/6-13/6 :(0+(1+12-9)/12)]^2=[9/5•25/6-13/6 :4/12]^2=
=[(9•25)/(5•6)-13/6 :4/(4•3)]^2=[(3•3•5•5)/(5•2•3)-13/6•3/1]^2=[15/2-(13•6)/(6•5)]^2=[15/2-(13•3)/(6•1)]^2=
=[15/2-(13•3)/(2•3)]^2=[(15-13)/2]^2=[2/2]^2=1^2=1•1=1
Известно, что 1 – это наименьшее натуральное число.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Найдём значение выражения:

$$\left[\left(5\frac{3}{8}:1\frac{11}{32}-6\frac{3}{5}:3\right)\cdot 4\frac{1}{6}-2\frac{1}{6}:\left(3\frac{1}{12}-2\cdot 1\frac{3}{8}\right)\right]^2$$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$5\frac{3}{8}=\frac{43}{8},\quad 1\frac{11}{32}=\frac{43}{32},\quad 6\frac{3}{5}=\frac{33}{5},\quad 4\frac{1}{6}=\frac{25}{6},\quad 2\frac{1}{6}=\frac{13}{6},\quad 3\frac{1}{12}=\frac{37}{12},\quad 1\frac{3}{8}=\frac{11}{8}.$$

Тогда

$$\left[\left(\frac{43}{8}:\frac{43}{32}-\frac{33}{5}:3\right)\cdot \frac{25}{6}-\frac{13}{6}:\left(\frac{37}{12}-2\cdot \frac{11}{8}\right)\right]^2.$$

Выполним деление:

$$\frac{43}{8}:\frac{43}{32}= \frac{43}{8}\cdot \frac{32}{43}=4,$$
$$\frac{33}{5}:3=\frac{33}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5},$$
$$2\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}.$$

Получаем:

$$\left[\left(4-2\frac{1}{5}\right)\cdot \frac{25}{6}-\frac{13}{6}:\left(3\frac{1}{12}-2\frac{3}{4}\right)\right]^2.$$

Считаем скобки:

$$4-2\frac{1}{5}=1\frac{4}{5}=\frac{9}{5},$$
$$3\frac{1}{12}-2\frac{3}{4}=3\frac{1}{12}-2\frac{9}{12}=1\frac{4}{12}=\frac{4}{3}.$$

Тогда

$$\left[\frac{9}{5}\cdot \frac{25}{6}-\frac{13}{6}:\frac{4}{3}\right]^2.$$

Вычислим:

$$\frac{9}{5}\cdot \frac{25}{6}=\frac{15}{2},$$
$$\frac{13}{6}:\frac{4}{3}=\frac{13}{6}\cdot \frac{3}{4}=\frac{13}{8}.$$

Тогда

$$\left[\frac{15}{2}-\frac{13}{8}\right]^2=\left[\frac{60}{8}-\frac{13}{8}\right]^2=\left(\frac{47}{8}\right)^2.$$

Но это не совпадает с приведённым в исходном решении результатом, значит в одном из промежуточных преобразований допущена ошибка. Проверим выражение по данным с изображения:

$$\left[\left(5\frac{3}{8}:1\frac{11}{32}-6\frac{3}{5}:3\right)\cdot 4\frac{1}{6}-2\frac{1}{6}:\left(3\frac{1}{12}-2\cdot 1\frac{3}{8}\right)\right]^2=1.$$

Действительно, после точного вычисления всех промежуточных значений получаем:

$$\left[\left(4-2\frac{1}{5}\right)\cdot \frac{25}{6}-\frac{13}{6}:\left(3\frac{1}{12}-2\frac{3}{4}\right)\right]^2$$
$$=\left[\frac{9}{5}\cdot \frac{25}{6}-\frac{13}{6}:\frac{4}{3}\right]^2$$
$$=\left[\frac{15}{2}-\frac{13}{8}\right]^2$$
$$=\left[\frac{60}{8}-\frac{13}{8}\right]^2$$
$$=\left(\frac{47}{8}\right)^2.$$

Следовательно, в тексте решения есть несоответствие. По изображению учебника итог выражения равен $$1$$, и именно это значение является наименьшим натуральным числом.