Упр.625 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Сумма кубов первых n последовательных натуральных чисел равна квадрату их суммы.
Проверь истинность данного высказывания для n = 2, 3, 4, 5, 6.
Можно ли на основании проведённого исследования утверждать, что данное высказывание верно для всех натуральных n?
Переведём высказывание на математический язык:
$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2.$$
Проверим для указанных значений n.
Если $$n=2,$$ то
$$1^3+2^3=(1+2)^2$$
$$1+8=3^2$$
$$9=9,$$
значит, верно.
Если $$n=3,$$ то
$$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2$$
$$1+8+27=6^2$$
$$36=36,$$
значит, верно.
Если $$n=4,$$ то
$$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2$$
$$1+8+27+64=10^2$$
$$100=100,$$
значит, верно.
Если $$n=5,$$ то
$$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2$$
$$1+8+27+64+125=15^2$$
$$225=225,$$
значит, верно.
Если $$n=6,$$ то
$$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3=(1+2+3+4+5+6)^2$$
$$1+8+27+64+125+216=21^2$$
$$441=441,$$
значит, верно.
Но на основании проверки только для нескольких значений $$n$$ нельзя утверждать, что высказывание верно для всех натуральных $$n$$. Для этого нужно доказательство в общем виде.
Ответ
Для $$n=2,3,4,5,6$$ высказывание верно. Утверждать, что оно верно для всех натуральных $$n$$, нельзя без общего доказательства.
