Упр.564 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 564. Бабушка поставила перед тремя внуками вазочку с шоколадными батончиками. За угощением внуки подходили поочерёдно. Первый, по просьбе бабушки, взял 1/4 всех батончиков и ещё 1 батончик. Второму было предложено взять 1/4 того, что осталось, и ещё 2 батончика. Третьему полагалось взять также 1/4 остатка и ещё 3 батончика. После чего ваза опустела. Докажи, что всем внукам досталось поровну. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 peterson5 part2/564 54

Подробный ответ

Обозначим, что после того как третий внук взял свои батончики, в вазочке ничего не осталось.

Третий внук взял $$\frac14$$ остатка и ещё 3 батончика, значит после него осталось $$\frac34$$ того, что было перед его приходом. Но после третьего внука осталось 0 батончиков, следовательно, перед ним было 4 батончика.

Тогда перед третьим внуком в вазочке было $$4+3=7$$ батончиков? Нет, здесь удобнее рассуждать так: если третий взял $$\frac14$$ остатка и ещё 3 батончика, а после него стало 0, то весь остаток перед ним равен 4 батончикам, из которых $$\frac14$$ — это 1 батончик, а ещё 3 батончика — это оставшаяся часть. Значит, перед третьим внуком было $$4$$ батончика.

Теперь найдём, сколько было перед вторым внуком. Второй взял $$\frac14$$ того, что осталось, и ещё 2 батончика, а после него осталось столько, сколько получил третий внук перед своим приходом, то есть 4 батончика. Значит, перед вторым внуком было:

$$ 4 : \frac34 = 4 \cdot \frac43 = \frac{16}{3} $$

Такой путь неудобен, поэтому решим задачу через равенство долей. Пусть каждый внук получил по $$x$$ батончиков. Тогда:

после первого осталось $$3x$$, потому что первый взял $$\frac14$$ всех батончиков и ещё 1, то есть всего $$x$$, а оставшаяся часть составляет $$\frac34$$ от общего числа;

после второго осталось $$2x$$;

после третьего осталось $$x$$, а затем ваза опустела, значит третий тоже взял $$x$$ батончиков.

Проверим по остаткам. Если третий взял $$\frac14$$ остатка и ещё 3, то

$$ x=\frac14 \cdot 4+3=4 $$

Значит, третий внук взял 4 батончика. Тогда и второй, и первый тоже взяли по 4 батончика.

Проверка:

первый взял $$\frac14 \cdot 12+1=3+1=4$$;

после него осталось $$12-4=8$$;

второй взял $$\frac14 \cdot 8+2=2+2=4$$;

после него осталось $$8-4=4$$;

третий взял $$\frac14 \cdot 4+3=1+3=4$$.

Все внуки получили поровну.