Упр.556 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Найди произведение: $$\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{16}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{225}\right)$$

Преобразуем каждый множитель по формуле разности квадратов:

$$1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right).$$

Тогда

$$\left(1-\frac14\right)\left(1-\frac19\right)\left(1-\frac1{16}\right)\cdots\left(1-\frac1{225}\right)$$

равно

$$\left(1-\frac12\right)\left(1+\frac12\right) \left(1-\frac13\right)\left(1+\frac13\right) \left(1-\frac14\right)\left(1+\frac14\right)\cdots \left(1-\frac1{15}\right)\left(1+\frac1{15}\right).$$

Сгруппируем множители:

$$\left(1-\frac12\right)\left(1+\frac12\right)=\frac12\cdot\frac32,$$

$$\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac13\right)=\frac23\cdot\frac43,$$

и так далее. При перемножении все промежуточные числа сокращаются, и остаётся

$$\frac12\cdot\frac{16}{15}=\frac{8}{15}.$$

Ответ

$$\frac{8}{15}$$