Упр.459 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

2) Числитель и знаменатель дроби отличаются на 7. В каких случаях эта дробь сократима?

Подробный ответ

1) Пусть знаменатель дроби равен $$x$$, тогда числитель равен $$x+5$$. Получаем дробь

$$\frac{x+5}{x}.$$

Если бы эта дробь сокращалась, то числитель и знаменатель должны были бы делиться на одно и то же число больше 1. Но их разность равна $$5$$:

$$\left(x+5\right)-x=5.$$

Значит, общий делитель числителя и знаменателя должен делить число $$5$$. Это возможно только при делителе $$5$$. Следовательно, дробь сократима тогда и только тогда, когда $$x$$ делится на $$5$$.

Например:

$$\frac{20}{15}=\frac{4}{3}, \qquad \frac{35}{30}=\frac{7}{6}.$$

2) Если числитель и знаменатель отличаются на $$7$$, то дробь имеет вид

$$\frac{x+7}{x} \quad \text{или} \quad \frac{x}{x+7}.$$

Разность числителя и знаменателя равна $$7$$, значит их общий делитель должен делить число $$7$$. Так как $$7$$ — простое число, дробь сократима только тогда, когда один из чисел делится на $$7$$, а значит и другое число тоже делится на $$7$$.

Итак, дробь сократима в тех случаях, когда числитель и знаменатель кратны $$7$$.