Упр.455 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Переведи высказывания с русского языка на математический. Определи вид высказываний. Докажи или опровергни их.

1. Квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов.
2. Существуют числа, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов.
3. Квадрат разности двух чисел равен разности их квадратов.
4. Существуют числа, квадрат разности которых равен разности их квадратов.

1) Высказывание переводится так: $$\forall m,n:\ (m+n)^2=m^2+n^2.$$ Это общее высказывание. Проверим на примере: при $$m=3$$ и $$n=4$$ получаем

$$(3+4)^2=3^2+4^2$$
$$7^2=9+16$$
$$49=25$$

Это неверно, значит высказывание ложно.

2) Перевод: $$\exists m,n:\ (m+n)^2=m^2+n^2.$$ Это высказывание существования. Например, при $$m=0$$ и $$n=3$$:

$$(0+3)^2=0^2+3^2$$
$$3^2=0+9$$
$$9=9$$

Значит, высказывание истинно.

3) Перевод: $$\forall m,n:\ (m-n)^2=m^2-n^2.$$ Это общее высказывание. Проверим на примере: при $$m=9$$ и $$n=3$$:

$$(9-3)^2=9^2-3^2$$
$$6^2=81-9$$
$$36=72$$

Это неверно, значит высказывание ложно.

4) Перевод: $$\exists m,n:\ (m-n)^2=m^2-n^2.$$ Это высказывание существования. Например, при $$m=5$$ и $$n=0$$:

$$(5-0)^2=5^2-0^2$$
$$5^2=25-0$$
$$25=25$$

Значит, высказывание истинно.

Ответ

1) $$\forall m,n:\ (m+n)^2=m^2+n^2$$ — ложное.
2) $$\exists m,n:\ (m+n)^2=m^2+n^2$$ — истинное.
3) $$\forall m,n:\ (m-n)^2=m^2-n^2$$ — ложное.
4) $$\exists m,n:\ (m-n)^2=m^2-n^2$$ — истинное.