Упр.438 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

При делении любого числа на 7 возможные остатки от деления могут принимать значения от 0 до 6, то есть всего существует 7 различных остатков.
Если рассмотреть восемь различных натуральных чисел, то среди них обязательно найдутся хотя бы два числа, которые имеют одинаковые остатки при делении на 7.
Этот вывод объясняется принципом Дирихле: если объектов больше, чем ячеек для их размещения, то хотя бы одна ячейка будет содержать более одного объекта.
В данном случае объектами являются числа, а ячейками — возможные остатки от деления на 7.
Когда два числа имеют одинаковый остаток при делении на 7, их разность будет делиться на 7 без остатка. Это означает, что разность таких чисел кратна 7.
Таким образом, среди любых восьми различных натуральных чисел всегда можно найти такие два числа, разность которых делится на 7. Это и является доказательством утверждения.

При делении на 7 возможны только 7 остатков: $$0,1,2,3,4,5,6$$.

Рассмотрим 8 различных натуральных чисел. Каждое из них при делении на 7 даёт один из этих 7 остатков. Значит, по принципу Дирихле среди 8 чисел найдутся хотя бы два числа с одинаковым остатком при делении на 7.

Пусть это числа $$a$$ и $$b$$, и их остатки одинаковы. Тогда

$$a=7m+r,\quad b=7n+r,$$

где $$r$$ — один и тот же остаток, а $$m$$ и $$n$$ — целые числа. Тогда

$$a-b=(7m+r)-(7n+r)=7(m-n).$$

Следовательно, разность $$a-b$$ делится на 7.

Значит, среди любых восьми различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа, разность которых делится на 7.

Ответ

Доказано.