Упр.408 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

а) (1/2 + 1/4)^2; б) (1/2)^2 + (1/4)^2; в) (1/2)^2 + 2 · 1/2 · 1/4 + (1/4)^2.
Что ты наблюдаешь? Сформулируй и докажи гипотезу.

Найдём значения выражений:

а) $$\left(\frac12+\frac14\right)^2=\left(\frac24+\frac14\right)^2=\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{16}$$

б) $$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac14\right)^2=\frac14+\frac1{16}=\frac4{16}+\frac1{16}=\frac5{16}$$

в) $$\left(\frac12\right)^2+2\cdot\frac12\cdot\frac14+\left(\frac14\right)^2=\frac14+\frac14+\frac1{16}=\frac8{16}+\frac1{16}=\frac9{16}$$

Сравним результаты: в выражениях а) и в) получились одинаковые значения, а выражение б) меньше.

Замечаем, что квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел и их удвоенного произведения:

$$\left(\frac12+\frac14\right)^2=\left(\frac12\right)^2+2\cdot\frac12\cdot\frac14+\left(\frac14\right)^2$$

Докажем это для любых чисел.

$$\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)^2=\left(\frac{ad+bc}{bd}\right)^2=\frac{(ad+bc)^2}{b^2d^2}$$

$$\frac{(ad+bc)^2}{b^2d^2}=\frac{a^2d^2+2abcd+b^2c^2}{b^2d^2}=\frac{a^2}{b^2}+2\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}+\frac{c^2}{d^2}$$

Значит,

$$\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2+2\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}+\left(\frac{c}{d}\right)^2$$

что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\frac{9}{16}$$, б) $$\frac{5}{16}$$, в) $$\frac{9}{16}$$. Гипотеза: квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел и их удвоенного произведения.