Упр.400 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
- Прочитай определение и назови определяемое понятие: факториалом натурального числа $$n$$ называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $$n$$: $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n$$. $$n!$$ читается: «эн факториал».
- Вычисли: $$2!$$, $$3!$$, $$4!$$, $$5!$$, $$6!$$, $$10!$$.
- Сравни: $$\frac{1}{4!}$$ и $$\frac{1}{9!}$$, $$\frac{1}{56!}$$ и $$\frac{1}{49!}$$, $$\frac{1}{n!}$$ и $$\frac{1}{(n+3)!}$$.
- Приведи к несократимому виду дроби: $$\frac{5!}{7!}$$, $$\frac{6!}{4!}$$, $$\frac{5!}{3! \cdot 4!}$$, $$\frac{8!}{4! \cdot 4!}$$, $$\frac{12!}{5! \cdot 7!}$$, $$\frac{100!}{98! \cdot 2!}$$.
- Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю: $$\frac{1}{2!}$$ и $$\frac{1}{5!}$$, $$\frac{1}{3!}$$ и $$\frac{1}{4!}$$, $$\frac{1}{7!}$$ и $$\frac{1}{5!}$$, $$\frac{1}{99!}$$ и $$\frac{1}{100!}$$.
- Найди значение разностей: $$\frac{1}{2!} — \frac{1}{3!}$$, $$\frac{1}{3!} — \frac{1}{4!}$$, $$\frac{1}{4!} — \frac{1}{5!}$$, $$\frac{1}{5!} — \frac{1}{6!}$$. Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность $$\frac{1}{n!} — \frac{1}{(n+1)!}$$?
1) Определяемое понятие — факториал.
2) Вычислим:
$$2! = 1 \cdot 2 = 2$$
$$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$
$$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$$
$$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$$
$$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$$
$$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3\,628\,800$$
3) Сравним дроби:
$$\frac{1}{4!} > \frac{1}{9!}, \qquad \frac{1}{56!} < \frac{1}{49!}, \qquad \frac{1}{n!} > \frac{1}{(n+3)!}$$
Чем меньше знаменатель, тем больше дробь.
4) Приведём дроби к несократимому виду:
$$\frac{5!}{7!} = \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42}$$
$$\frac{6!}{4!} = 5 \cdot 6 = 30$$
$$\frac{5!}{3! \cdot 4!} = \frac{5}{3!} = \frac{5}{6}$$
$$\frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4!} = 70$$
$$\frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{5!} = 792$$
$$\frac{100!}{98! \cdot 2!} = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950$$
5) Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю:
$$\frac{1}{2!} = \frac{60}{5!}, \qquad \frac{1}{5!} = \frac{1}{5!}$$
$$\frac{1}{3!} = \frac{4}{4!}, \qquad \frac{1}{4!} = \frac{1}{4!}$$
$$\frac{1}{7!} = \frac{42}{7!}, \qquad \frac{1}{5!} = \frac{1}{5!}$$
$$\frac{1}{99!} = \frac{100}{100!}, \qquad \frac{1}{100!} = \frac{1}{100!}$$
6) Найдём значения разностей:
$$\frac{1}{2!} — \frac{1}{3!} = \frac{3-1}{3!} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
$$\frac{1}{3!} — \frac{1}{4!} = \frac{4-1}{4!} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$$
$$\frac{1}{4!} — \frac{1}{5!} = \frac{5-1}{5!} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$$
$$\frac{1}{5!} — \frac{1}{6!} = \frac{6-1}{6!} = \frac{5}{720} = \frac{1}{144}$$
$$\frac{1}{6!} — \frac{1}{7!} = \frac{7-1}{7!} = \frac{6}{5040} = \frac{1}{840}$$
$$\frac{1}{7!} — \frac{1}{8!} = \frac{8-1}{8!} = \frac{7}{40320} = \frac{1}{5760}$$
Общая формула:
$$\frac{1}{n!} — \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n+1-1}{(n+1)!} = \frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)\cdot n!}$$
Ответ
1) факториал;
2) $$2!=2,\ 3!=6,\ 4!=24,\ 5!=120,\ 6!=720,\ 10!=3\,628\,800$$;
3) $$\frac{1}{4!}>\frac{1}{9!},\ \frac{1}{56!}<\frac{1}{49!},\ \frac{1}{n!}>\frac{1}{(n+3)!}$$;
4) $$\frac{1}{42},\ 30,\ \frac{5}{6},\ 70,\ 792,\ 4950$$;
5) $$\frac{1}{2!}=\frac{60}{5!},\ \frac{1}{5!}=\frac{1}{5!};\ \frac{1}{3!}=\frac{4}{4!},\ \frac{1}{4!}=\frac{1}{4!};\ \frac{1}{7!}=\frac{42}{7!},\ \frac{1}{5!}=\frac{1}{5!};\ \frac{1}{99!}=\frac{100}{100!},\ \frac{1}{100!}=\frac{1}{100!}$$;
6) $$\frac{1}{3},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{30},\ \frac{1}{144},\ \frac{1}{840},\ \frac{1}{5760},\ \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{n}{(n+1)!}$$
