Упр.400 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n:
n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · n.
(n! читается: «эн факториал»).
2) Вычисли: 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 10!.
3) Сравни: 1/4! и 1/9!, 1/56! и 1/49!, 1/n! и 1/(n+3)!.
4) Приведи к несократимому виду дроби:
5!/7!, 6!/4!, 5!/(3!·4!), 8!/(4!·4!), 12!/(5!·7!), 100!/(98!·2!).
5) Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю:
1/2! и 1/5!, 1/3! и 1/4!, 1/7! и 1/5!, 1/99! и 1/100!.
6) Найди значение разностей:
1/2! — 1/3!, 1/3! — 1/4!, 1/4! — 1/5!. 1/5! — 1/6!.
Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность 1/n! — 1/(n+1)!?

1) Определяемое понятие — факториал.

2) Вычислим:

$$ 2! = 1 \cdot 2 = 2 $$
$$ 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 $$
$$ 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 $$
$$ 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 $$
$$ 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 $$
$$ 10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3\,628\,800 $$

3) Сравним дроби:

$$ \frac{1}{4!} > \frac{1}{9!}, \qquad \frac{1}{56!} < \frac{1}{49!}, \qquad \frac{1}{n!} > \frac{1}{(n+3)!} $$

Чем меньше знаменатель, тем больше дробь.

4) Приведём дроби к несократимому виду:

$$ \frac{5!}{7!} = \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42} $$
$$ \frac{6!}{4!} = 5 \cdot 6 = 30 $$
$$ \frac{5!}{3! \cdot 4!} = \frac{5}{3!} = \frac{5}{6} $$
$$ \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4!} = 70 $$
$$ \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{5!} = 792 $$
$$ \frac{100!}{98! \cdot 2!} = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950 $$

5) Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю:

$$ \frac{1}{2!} = \frac{60}{5!}, \qquad \frac{1}{5!} = \frac{1}{5!} $$
$$ \frac{1}{3!} = \frac{4}{4!}, \qquad \frac{1}{4!} = \frac{1}{4!} $$
$$ \frac{1}{7!} = \frac{42}{7!}, \qquad \frac{1}{5!} = \frac{1}{5!} $$
$$ \frac{1}{99!} = \frac{100}{100!}, \qquad \frac{1}{100!} = \frac{1}{100!} $$

6) Найдём значения разностей:

$$ \frac{1}{2!} — \frac{1}{3!} = \frac{3-1}{3!} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
$$ \frac{1}{3!} — \frac{1}{4!} = \frac{4-1}{4!} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} $$
$$ \frac{1}{4!} — \frac{1}{5!} = \frac{5-1}{5!} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} $$
$$ \frac{1}{5!} — \frac{1}{6!} = \frac{6-1}{6!} = \frac{5}{720} = \frac{1}{144} $$
$$ \frac{1}{6!} — \frac{1}{7!} = \frac{7-1}{7!} = \frac{6}{5040} = \frac{1}{840} $$
$$ \frac{1}{7!} — \frac{1}{8!} = \frac{8-1}{8!} = \frac{7}{40320} = \frac{1}{5760} $$

Общая формула:

$$ \frac{1}{n!} — \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n+1-1}{(n+1)!} = \frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)\cdot n!} $$

Ответ

1) факториал;
2) $$2!=2,\ 3!=6,\ 4!=24,\ 5!=120,\ 6!=720,\ 10!=3\,628\,800$$;
3) $$\frac{1}{4!}>\frac{1}{9!},\ \frac{1}{56!}<\frac{1}{49!},\ \frac{1}{n!}>\frac{1}{(n+3)!}$$;
4) $$\frac{1}{42},\ 30,\ \frac{5}{6},\ 70,\ 792,\ 4950$$;
5) $$\frac{1}{2!}=\frac{60}{5!},\ \frac{1}{5!}=\frac{1}{5!};\ \frac{1}{3!}=\frac{4}{4!},\ \frac{1}{4!}=\frac{1}{4!};\ \frac{1}{7!}=\frac{42}{7!},\ \frac{1}{5!}=\frac{1}{5!};\ \frac{1}{99!}=\frac{100}{100!},\ \frac{1}{100!}=\frac{1}{100!}$$;
6) $$\frac{1}{3},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{30},\ \frac{1}{144},\ \frac{1}{840},\ \frac{1}{5760},\ \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{n}{(n+1)!}$$