Упр.390 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 390. Найди наименьшее и наибольшее трёхзначные числа n, при которых дроби 3/(n+1), 4/(n+2), 5/(n+3), 6/(n+4) все несократимы. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 peterson5 part2/390 54

Чтобы дроби $$\frac{3}{n+1},\ \frac{4}{n+2},\ \frac{5}{n+3},\ \frac{6}{n+4}$$ были несократимыми, числитель и знаменатель каждой дроби должны быть взаимно простыми.

Проверим, при каких трёхзначных значениях $$n$$ это выполняется.

Если $$n=100$$, то

$$\frac{4}{n+2}=\frac{4}{102}$$

сокращается на $$2$$.

Если $$n=101$$, то

$$\frac{3}{n+1}=\frac{3}{102}$$

сокращается на $$3$$.

Если $$n=102$$, то

$$\frac{5}{n+3}=\frac{5}{105}$$

сокращается на $$5$$.

Значит, наименьшее трёхзначное число, при котором все дроби несократимы, — это $$n=103$$. Проверим:

$$\frac{3}{103+1}=\frac{3}{104},\quad \frac{4}{103+2}=\frac{4}{105},\quad \frac{5}{103+3}=\frac{5}{106},\quad \frac{6}{103+4}=\frac{6}{107}.$$

Во всех случаях дроби несократимы.

Теперь найдём наибольшее трёхзначное число. При $$n=999$$ получаем:

$$\frac{3}{999+1}=\frac{3}{1000},\quad \frac{4}{999+2}=\frac{4}{1001},\quad \frac{5}{999+3}=\frac{5}{1002},\quad \frac{6}{999+4}=\frac{6}{1003}.$$

Все эти дроби тоже несократимы, значит, $$n=999$$ подходит.

Ответ

$$n_{\text{наим.}}=103,\quad n_{\text{наиб.}}=999.$$