Упр.358 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Докажи истинность высказывания:

1. 1) $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{16}<4$$; 2) $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{64}<6$$.

1) Сгруппируем слагаемые так:

$$\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\cdots+\frac1{16}$$

Сравним дроби в парах:

$$\frac12+\frac13+\frac14<1,\qquad \frac15+\frac16+\frac17+\frac18<1,\qquad \frac19+\frac1{10}+\cdots+\frac1{16}<1.$$

Действительно, в каждой из этих групп каждое слагаемое меньше соответствующей дроби с одинаковым знаменателем, а сумма таких дробей равна 1.

Тогда

$$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{16}<1+1+1+1=4.$$

Значит,

$$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{16}<4.$$

2) Аналогично разобьём сумму на группы:

$$\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{64}$$

Тогда

$$\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18<1,$$

$$\frac19+\frac1{10}+\cdots+\frac1{16}<1,$$

$$\frac1{17}+\frac1{18}+\cdots+\frac1{32}<1,$$

$$\frac1{33}+\frac1{34}+\cdots+\frac1{64}<1.$$

Кроме того,

$$\frac12+\frac13<1,\qquad \frac14+\frac15+\frac16+\frac17<1,$$

и все остальные группы тоже дают сумму меньше 1. Поэтому вся сумма меньше 5:

$$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{64}<6.$$

Ответ

$$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{16}<4,\qquad 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{64}<6.$$