Упр.324 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Как, не выполняя сложения дробей с равными знаменателями, доказать истинность высказывания:
- $$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}<\frac{2}{5}$$;
- $$\frac{2}{7}+\frac{3}{8}<\frac{5}{7}$$;
- $$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{3}{8}$$;
- $$\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}>\frac{3}{13}$$;
- $$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}>\frac{1}{3}$$;
- $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}<1$$;
- $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1$$;
- $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{8}<2$$.
Сравним каждую дробь с более удобной дробью и воспользуемся тем, что при сложении неравенства сохраняются.
1) $$\frac15+\frac16<\frac25,$$ потому что $$\frac16<\frac15,$$ значит
$$\frac15+\frac16<\frac15+\frac15=\frac25.$$
2) $$\frac15+\frac16>\frac13,$$ потому что $$\frac15>\frac16,$$ значит
$$\frac15+\frac16>\frac16+\frac16=\frac13.$$
3) $$\frac27+\frac38<\frac57,$$ потому что $$\frac38<\frac37,$$ значит
$$\frac27+\frac38<\frac27+\frac37=\frac57.$$
4) $$\frac13+\frac14+\frac15<1,$$ потому что $$\frac14<\frac13,\quad \frac15<\frac13,$$ значит
$$\frac13+\frac14+\frac15<\frac13+\frac13+\frac13=1.$$
5) $$\frac16+\frac17+\frac18>\frac38,$$ потому что $$\frac16>\frac18,\quad \frac17>\frac18,$$ значит
$$\frac16+\frac17+\frac18>\frac18+\frac18+\frac18=\frac38.$$
6) $$\frac12+\frac13+\frac14>1,$$ потому что $$\frac12=\frac14+\frac14,\quad \frac13>\frac14,$$ значит
$$\frac12+\frac13+\frac14>\frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1.$$
7) $$\frac1{11}+\frac1{12}+\frac1{13}>\frac3{13},$$ потому что $$\frac1{11}>\frac1{13},\quad \frac1{12}>\frac1{13},$$ значит
$$\frac1{11}+\frac1{12}+\frac1{13}>\frac1{13}+\frac1{13}+\frac1{13}=\frac3{13}.$$
8) $$\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18<2.$$
Сгруппируем дроби:
$$\frac12+\frac13<\frac12+\frac12=1,$$
$$\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18<\frac14+\frac14+\frac14+\frac14+\frac14=\frac54.$$
Тогда
$$\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18<1+\frac54<2.$$
Ответ
Все данные неравенства верны.
