Упр.321 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

а) если дробь p/q сократима, то дроби p/q, (p-q)/q, (p+q)/p, (p-2q)q также сократимы;
б) если дробь p/q несократима, то дроби p/q, (p-q)/q, (q+p)/p, (p-2q)/q также несократимы.

а) Пусть дробь $$\frac{p}{q}$$ сократима. Тогда числа $$p$$ и $$q$$ имеют общий делитель, отличный от 1. Обозначим его через $$d$$. Значит, $$p=ad$$ и $$q=bd$$, где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.

Тогда:

$$ \frac{q}{p}=\frac{bd}{ad}=\frac{b}{a} $$
$$ \frac{p-q}{q}=\frac{ad-bd}{bd}=\frac{a-b}{b} $$
$$ \frac{q+p}{p}=\frac{bd+ad}{ad}=\frac{a+b}{a} $$
$$ \frac{p-2q}{q}=\frac{ad-2bd}{bd}=\frac{a-2b}{b} $$

Во всех этих дробях числитель и знаменатель имеют общий делитель $$d$$, значит, они тоже сократимы.

б) Пусть дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима. Тогда $$\gcd(p;q)=1$$, то есть у чисел $$p$$ и $$q$$ нет общего делителя, кроме 1.

Рассмотрим дроби:

$$ \frac{q}{p},\quad \frac{p-q}{q},\quad \frac{q+p}{p},\quad \frac{p-2q}{q} $$

Если бы какая-нибудь из них была сократима, то её числитель и знаменатель имели бы общий делитель. Но:

$$ \gcd(q;p)=\gcd(p;q)=1 $$
$$ \gcd(p-q;q)=\gcd(p;q)=1 $$
$$ \gcd(p+q;p)=\gcd(q;p)=1 $$
$$ \gcd(p-2q;q)=\gcd(p;q)=1 $$

Значит, все эти дроби несократимы.

Ответ: если $$\frac{p}{q}$$ сократима, то и $$\frac{q}{p},\ \frac{p-q}{q},\ \frac{q+p}{p},\ \frac{p-2q}{q}$$ сократимы; если $$\frac{p}{q}$$ несократима, то и эти дроби несократимы.