Упр.294 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

а) переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения дробей;
б) частные случаи умножения дробей на 0 и на 1.

Пусть $$\frac{a}{b}$$, $$\frac{c}{d}$$, $$\frac{p}{q}$$ — дроби, где $$b \ne 0$$, $$d \ne 0$$, $$q \ne 0$$.

а) Переместительное свойство умножения:

$$ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} $$
$$ \frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}=\frac{ca}{db} $$
Так как $$ac=ca$$ и $$bd=db$$, то
$$ \frac{ac}{bd}=\frac{ca}{db}. $$
Значит,
$$ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}. $$

Сочетательное свойство умножения:

$$ \left(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\right)\cdot \frac{p}{q} = \frac{ac}{bd}\cdot \frac{p}{q} = \frac{acp}{bdq} $$
$$ \frac{a}{b}\cdot \left(\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q}\right) = \frac{a}{b}\cdot \frac{cp}{dq} = \frac{acp}{bdq} $$
Следовательно,
$$ \left(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\right)\cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b}\cdot \left(\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q}\right). $$

Распределительное свойство умножения:

$$ \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\cdot \frac{p}{q} = \frac{ad+bc}{bd}\cdot \frac{p}{q} = \frac{(ad+bc)p}{bdq} = \frac{adp+bcp}{bdq} $$
С другой стороны,
$$ \frac{a}{b}\cdot \frac{p}{q}+\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q} = \frac{ap}{bq}+\frac{cp}{dq} = \frac{adp+bcp}{bdq}. $$
Значит,
$$ \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b}\cdot \frac{p}{q}+\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q}. $$

б) Частные случаи:

$$ \frac{a}{b}\cdot 0=0,\qquad \frac{a}{b}\cdot 1=\frac{a}{b}. $$
Действительно, при умножении на нуль получается нуль, а при умножении на единицу дробь не изменяется.

Ответ

$$ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b},\qquad \left(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\right)\cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b}\cdot \left(\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q}\right), $$
$$ \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b}\cdot \frac{p}{q}+\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q},\qquad \frac{a}{b}\cdot 0=0,\qquad \frac{a}{b}\cdot 1=\frac{a}{b}. $$