Упр.260 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

Что означают выражения:
(а + с) — (b + d) и (а — b) + (с — d)?
2) Ha основании равенства
(а + с) — (b + d) = (a — b) + (c — d)
сформулируй правило вычитания суммы из суммы. Используй это правило для вычисления разности 5 8/11 — 2 4/11.
3) Исходя из правила вычитания суммы из суммы, докажи равенство
(а + с) — (b + с) = а — b.
Замени в нем знак «+» на знак «·», а знак «-» на знак «:». Что получилось? Что получится, если заменить в новом равенстве знак деления на черту дроби?
4) Замени в равенстве (а + с) — (b + d) = (а — b) + (с — d) знак «+» на знак «·», а знак «-» на знак «:». Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский. Что получится, если в новом равенстве заменить знак деления на черту дроби? Сформулируй гипотезу об истинности этих высказываний и попробуй ее доказать.

Подробный ответ

1) Выражение $$\left(a+c\right)-\left(b+d\right)$$ означает, сколько учащихся осталось, если из общего числа девочек и мальчиков вычесть отсутствующих девочек и мальчиков.

Выражение $$\left(a-b\right)+\left(c-d\right)$$ означает то же самое: сначала находим, сколько пришло девочек и сколько пришло мальчиков, а затем складываем эти числа.

2) Из равенства

$$\left(a+c\right)-\left(b+d\right)=\left(a-b\right)+\left(c-d\right)$$

получаем правило вычитания суммы из суммы: чтобы вычесть сумму из суммы, можно из первого слагаемого первой суммы вычесть первое слагаемое второй суммы, из второго слагаемого первой суммы вычесть второе слагаемое второй суммы, а затем полученные разности сложить.

Вычислим:

$$ 5\frac{8}{11}-2\frac{4}{11} =\left(5+\frac{8}{11}\right)-\left(2+\frac{4}{11}\right) =\left(5-2\right)+\left(\frac{8}{11}-\frac{4}{11}\right) =3+\frac{4}{11} =3\frac{4}{11}. $$

3) Докажем равенство

$$\left(a+c\right)-\left(b+c\right)=a-b.$$

По правилу вычитания суммы из суммы:

$$ \left(a+c\right)-\left(b+c\right) =\left(a-b\right)+\left(c-c\right) =\left(a-b\right)+0 =a-b. $$

Если заменить знак $$+$$ на знак $$\cdot$$, а знак $$-$$ на знак $$:$$, получим:

$$\left(a\cdot c\right):\left(b\cdot c\right)=a:b.$$

Если заменить знак деления на черту дроби, получится:

$$\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}.$$

4) В равенстве

$$\left(a+c\right)-\left(b+d\right)=\left(a-b\right)+\left(c-d\right)$$

заменим знак $$+$$ на знак $$\cdot$$, а знак $$-$$ на знак $$:$$:

$$\left(a\cdot c\right):\left(b\cdot d\right)=\left(a:b\right)\cdot\left(c:d\right).$$

Это означает: чтобы разделить произведение на произведение, можно разделить первый множитель первого произведения на первый множитель второго произведения и второй множитель первого произведения на второй множитель второго произведения, а затем полученные частные перемножить.

Если заменить знак деления на черту дроби, получим:

$$\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}.$$

Гипотеза: частное произведений равно произведению частных. Проверка показывает, что это верно.