Упр.258 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 258. Вычисли: 1 — 1/2; 2 — 1/3; 3 — 1/4; 4 — 1/5 … Какие числа будут получаться, если продолжить эту цепочку разностей, сохраняя правило? Чему равна разность, стоящая на 100-м месте?

Заметим закономерность:

$$ 1-\frac12=\frac12 $$
$$ 2-\frac13=1+\frac23=1\frac23 $$
$$ 3-\frac14=2+\frac34=2\frac34 $$
$$ 4-\frac15=3+\frac45=3\frac45 $$

Значит, в общем виде

$$ n-\frac1{n+1}=(n-1)+\frac{n}{n+1} $$

Тогда дальше будут получаться числа:

$$ 4\frac56,\;5\frac67,\;6\frac78,\;7\frac89,\;8\frac9{10},\ldots $$

На 100-м месте стоит разность

$$ 100-\frac1{101}=99+\frac{100}{101}=99\frac{100}{101} $$

Ответ

$$ 4\frac56,\;5\frac67,\;6\frac78,\;7\frac89,\;8\frac9{10},\ldots $$
На 100-м месте: $$99\frac{100}{101}$$.