Упр.212 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
«Множество точек числового луча, удалённых от точки а на расстояние меньшее, чем ?, называется ?-окрестностью точки а».
Изобрази с помощью числового луча ?-окростность точки 3 при ? = 1.
2) Используя чертёж, установи, верно ли сделан перевод приведенного определения на математический язык:
Точка х принадлежит ?-окрестности точки а < = > a — ? < x < a + ?
3) Пользуясь определением ?-окрестности, запиши в виде двойного неравенства ?-окрестности точек:
4/9, если ? = 2/9; 3/10, если ? = 1/5;
1/2, если ? = 1/6; 5/12, если ? = 1/4.
Проиллюстрируй ответы на чертеже, подобрав подходящие единичные отрезки.
Для каждой ?-окрестности запиши по одному числу, которое ей принадлежит, и по одному числу, которое ей не принадлежит.
1) Определяемое понятие — $$\varepsilon$$-окрестность точки $$a$$.
Для точки $$a=3$$ и $$\varepsilon=1$$ получаем все точки числового луча, расстояние от которых до точки 3 меньше 1, то есть точки между $$2$$ и $$4$$:
$$2<x<4$$
На числовом луче это отрезок между 2 и 4 без концов.
2) Перевод определения на математический язык сделан верно:
$$x \in \varepsilon\text{-окрестности точки }a \iff a-\varepsilon<x<a+\varepsilon$$
3) Запишем каждую окрестность в виде двойного неравенства.
а) Для точки $$\frac{4}{9}$$ при $$\varepsilon=\frac{2}{9}$$:
$$ \frac{4}{9}-\frac{2}{9}<x<\frac{4}{9}+\frac{2}{9} $$
$$ \frac{2}{9}<x<\frac{6}{9} $$
$$ \frac{2}{9}<x<\frac{2}{3} $$
Принадлежит, например, $$\frac{1}{3}$$; не принадлежит, например, $$\frac{8}{9}$$.
б) Для точки $$\frac{3}{10}$$ при $$\varepsilon=\frac{1}{5}$$:
$$ \frac{3}{10}-\frac{1}{5}<x<\frac{3}{10}+\frac{1}{5} $$
$$ \frac{3}{10}-\frac{2}{10}<x<\frac{3}{10}+\frac{2}{10} $$
$$ \frac{1}{10}<x<\frac{5}{10} $$
$$ \frac{1}{10}<x<\frac{1}{2} $$
Принадлежит, например, $$\frac{2}{5}$$; не принадлежит, например, $$\frac{7}{10}$$.
в) Для точки $$\frac{1}{2}$$ при $$\varepsilon=\frac{1}{6}$$:
$$ \frac{1}{2}-\frac{1}{6}<x<\frac{1}{2}+\frac{1}{6} $$
$$ \frac{3}{6}-\frac{1}{6}<x<\frac{3}{6}+\frac{1}{6} $$
$$ \frac{2}{6}<x<\frac{4}{6} $$
$$ \frac{1}{3}<x<\frac{2}{3} $$
Принадлежит, например, $$\frac{5}{12}$$; не принадлежит, например, $$\frac{11}{12}$$.
г) Для точки $$\frac{5}{12}$$ при $$\varepsilon=\frac{1}{4}$$:
$$ \frac{5}{12}-\frac{1}{4}<x<\frac{5}{12}+\frac{1}{4} $$
$$ \frac{5}{12}-\frac{3}{12}<x<\frac{5}{12}+\frac{3}{12} $$
$$ \frac{2}{12}<x<\frac{8}{12} $$
$$ \frac{1}{6}<x<\frac{2}{3} $$
Принадлежит, например, $$\frac{7}{12}$$; не принадлежит, например, $$\frac{11}{12}$$.
Ответ
1) $$\varepsilon$$-окрестность точки $$a$$. Для $$a=3$$, $$\varepsilon=1$$: $$2<x<4$$.
2) Верно.
3) а) $$\frac{2}{9}<x<\frac{2}{3}$$; б) $$\frac{1}{10}<x<\frac{1}{2}$$; в) $$\frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$$; г) $$\frac{1}{6}<x<\frac{2}{3}$$.
