Упр.164 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
1) На острове сокровищ была пещера, в которой Флинт спрятал свои сокровища. Вход в пещеру был тщательно замаскирован, и найти его мог только старый пират Бен Ган. Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо с описанием системы координат. Далее с помощью координат он зашифровал место, где спрятан клад:
Пещера с сокровищами находится в точке пересечения диагоналей четырехугольника, образованного четырьмя дубами: (0; 1), (2; 7), (8; 5), (5; 1).
Определи координаты входа в пещеру.
2) Нанеси на карту объекты: A- форт, В — бухта, С — склад, D — водопад, Е — гора, F — форт, N — наблюдательная вышка и ещё два каких-нибудь объекта М и К. Опиши их положение с помощью координат и сообщи эти координаты товарищу по парте. Пусть он восстановит твою карту, а ты, в свою очередь, восстанови его карту. Кто сумел правильнее расшифровать местонахождение зашифрованных объектов?
1) Обозначим вершины четырёхугольника: $$A(0;1),\ B(2;7),\ C(8;5),\ D(5;1).$$
Вход в пещеру находится в точке пересечения диагоналей. Найдём координаты этой точки.
Диагональ $$AC$$ проходит через точки $$A(0;1)$$ и $$C(8;5)$$. Её уравнение можно записать по двум точкам. Угловой коэффициент:
$$k=\frac{5-1}{8-0}=\frac{4}{8}=\frac12.$$
Значит, для этой диагонали:
$$y=\frac12x+1.$$
Диагональ $$BD$$ проходит через точки $$B(2;7)$$ и $$D(5;1)$$. Угловой коэффициент:
$$k=\frac{1-7}{5-2}=\frac{-6}{3}=-2.$$
Тогда:
$$y-7=-2(x-2),$$
$$y=-2x+11.$$
Найдём точку пересечения диагоналей:
$$\frac12x+1=-2x+11$$
$$\frac52x=10$$
$$x=4.$$
Подставим в любое уравнение:
$$y=\frac12\cdot 4+1=3.$$
Следовательно, вход в пещеру находится в точке $$O(4;3).$$
2) Для второго пункта можно выбрать любые координаты объектов на карте. Например:
$$A(9;8),\ B(8;2),\ C(4;10),\ D(7;12),\ E(11;10),\ F(1;10),\ N(3;14),\ M(11;6),\ K(14;13).$$
Тогда товарищ сможет восстановить карту по этим координатам.
Ответ
1) $$O(4;3).$$
2) Например: $$A(9;8),\ B(8;2),\ C(4;10),\ D(7;12),\ E(11;10),\ F(1;10),\ N(3;14),\ M(11;6),\ K(14;13).$$
