Упр.12 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные числа и $$0$$, умеют их складывать и вычитать, а «умножают» их по бусирскому правилу.
Представь себя учеником бусирской школы и выполни контрольную работу:
- Вычисли значения выражений:
- Докажи, что бусирское умножение обладает переместительным свойством.
- Выясни, обладает ли оно сочетательным свойством.
- Проверь, выполняется ли распределительное свойство.
- Какое число обладает свойством единицы (при обычном умножении: $$a \cdot 1 = a$$)? А свойством нуля ($$a \cdot 0 = 0$$)?
1) По бусирскому правилу
$$a \otimes b = ab + a + b.$$
Тогда:
$$2 \otimes 3 = 2 \cdot 3 + 2 + 3 = 6 + 5 = 11$$
$$4 \otimes 9 = 4 \cdot 9 + 4 + 9 = 36 + 13 = 49$$
$$0 \otimes 712 = 0 \cdot 712 + 0 + 712 = 0 + 712 = 712$$
$$5 \otimes 8 = 5 \cdot 8 + 5 + 8 = 40 + 13 = 53$$
$$2 \otimes 8 + 3 \otimes 8 = (2 \cdot 8 + 2 + 8) + (3 \cdot 8 + 3 + 8)$$
$$= 16 + 10 + 24 + 11 = (16 + 24) + (10 + 11) = 40 + 21 = 61$$
2) Докажем переместительное свойство:
$$a \otimes b = ab + a + b$$
$$b \otimes a = ba + b + a$$
Так как $$ab = ba$$ и $$a + b = b + a$$, то
$$a \otimes b = b \otimes a.$$
3) Проверим сочетательное свойство:
$$a \otimes (b \otimes c) = a \otimes (bc + b + c)$$
$$= a(bc + b + c) + a + (bc + b + c)$$
$$= abc + ab + ac + a + bc + b + c$$
$$(a \otimes b) \otimes c = (ab + a + b) \otimes c$$
$$= (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c$$
$$= abc + ac + bc + ab + a + b + c$$
Получили одно и то же выражение, значит, бусирское умножение обладает сочетательным свойством.
4) Проверим распределительное свойство:
$$(a + b) \otimes c = (a + b)c + (a + b) + c = ac + bc + a + b + c$$
$$a \otimes c + b \otimes c = (ac + a + c) + (bc + b + c) = ac + bc + a + b + 2c$$
Эти выражения не равны, значит, распределительное свойство не выполняется.
5) Найдём число, обладающее свойством единицы:
$$a \otimes x = a$$
$$ax + a + x = a$$
$$ax + x = 0$$
$$x(a + 1) = 0$$
$$x = 0$$
Значит, свойством единицы обладает число $$0$$.
Теперь найдём число, обладающее свойством нуля:
$$a \otimes x = x$$
$$ax + a + x = x$$
$$ax + a = 0$$
$$a(x + 1) = 0$$
Для натуральных чисел и нуля это возможно только при $$a = 0$$, но тогда равенство выполняется не для всех $$a$$. Значит, среди натуральных чисел и $$0$$ нет числа, обладающего свойством нуля.
Ответ
1) $$11$$; $$49$$; $$712$$; $$53$$; $$61$$.
2) Да, $$a \otimes b = b \otimes a$$.
3) Да, сочетательное свойство выполняется.
4) Нет, распределительное свойство не выполняется.
5) Свойством единицы обладает число $$0$$, свойством нуля — никакое натуральное число и $$0$$.
