Упр.116 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

1) Два прямоугольника имеют одинаковую площадь, разную 70 м^2. Известно, что у первого прямоугольника длина на 4 м больше, а ширина на 2 м меньше, чем у второго прямоугольника. Найти стороны этих прямоугольников.
2) Длина одного прямоугольника равна 32 см, а другого — 15 см. Ширина второго прямоугольника на б см больше ширины первого. Найти их площади, если известно, что площадь первого прямоугольника на 46 см^2 больше площади второго прямоугольника.
3) Тетради в клетку дороже тетрадей в линейку на 5 р. За 25 тетрадей в клетку надо заплатить на 50 р. больше, чем за 30 тетрадей в линейку. Какова цена тетрадей в клетку и тетрадей в линейку?
4) За 4 м шерстяной ткани надо заплатить на 20 р. больше, чем за б м шёлковой ткани. Сколько стоит 1 м шёлка, если он дешевле 1 м шерсти на 120 р.?
5) Токарь придумал новый способ обработки деталей и за 1 час стал обтачивать на 2 детали больше, чем полагалось по плану. Поэтому дневную норму он выполнит не за 8 ч, а за 7 ч. Сколько деталей по норме должен обработать токарь за день, если на обработку каждой детали он тратит одинаковое время?
6) Если варенье, заготовленное на зиму, разложить в 2-литровые банки, то их потребуется на 9 больше, чем 3-литровых. Сколько литров варенья заготовлено?
7) Проехав с некоторой скоростью половину пути, автобус час стоял на месте из-за случившейся на трассе аварии. Чтобы на оставшихся до пункта назначения 200 км наверстать потерянное время, водитель автобуса повёл его со скоростью на 10 км/ч большей, чем в начале пути. В конечный пункт автобус прибыл без опоздания. С какой скоростью проехал автобус первую половину пути?
8) Скорый поезд был задержан у семафора на 4/15 часа и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем полагаюсь по расписанию. Чему равна скорость поезда по расписанию?

1) Пусть длина первого прямоугольника равна $$x$$ м, тогда его ширина $$70:x$$ м. У второго прямоугольника длина $$x-4$$ м, а ширина $$70:(x-4)$$ м. Так как ширина первого на 2 м меньше ширины второго, получаем уравнение:

$$70:(x-4)=70:x+2.$$

Решим его:

$$ 70= (70:x+2)(x-4) $$

Удобнее воспользоваться равенством площадей:

$$ x\cdot \frac{70}{x}=70,\qquad (x-4)\left(\frac{70}{x}+2\right)=70. $$

Из условия:

$$ \frac{70}{x-4}=\frac{70}{x}+2. $$

Умножим на $$x(x-4)$$:

$$ 70x=70(x-4)+2x(x-4). $$

$$ 70x=70x-280+2x^2-8x $$

$$ 2x^2-8x-280=0 $$

$$ x^2-4x-140=0 $$

$$ D=16+560=576,\quad \sqrt{D}=24 $$

$$ x=\frac{4\pm 24}{2} $$

$$ x=14 \quad \text{или} \quad x=-10 $$

Подходит $$x=14$$. Тогда:

$$ 70:14=5,\qquad 14-4=10,\qquad 70:10=7. $$

Значит, стороны прямоугольников: $$14$$ м и $$5$$ м; $$10$$ м и $$7$$ м.

2) Пусть ширина первого прямоугольника равна $$x$$ см, тогда ширина второго равна $$x+6$$ см. Площади равны:

$$ S_1=32x,\qquad S_2=15(x+6). $$

По условию площадь первого на $$46$$ см$$^2$$ больше площади второго:

$$ 32x-15(x+6)=46. $$

$$ 32x-15x-90=46 $$

$$ 17x=136 $$

$$ x=8. $$

Тогда:

$$ S_1=32\cdot 8=256\text{ см}^2,\qquad S_2=15\cdot 14=210\text{ см}^2. $$

3) Пусть тетрадь в линейку стоит $$x$$ руб., тогда тетрадь в клетку стоит $$x+5$$ руб. По условию:

$$ 25(x+5)-30x=50. $$

$$ 25x+125-30x=50 $$

$$ -5x=-75 $$

$$ x=15. $$

Значит, тетрадь в линейку стоит $$15$$ руб., а в клетку — $$20$$ руб.

4) Пусть 1 м шёлка стоит $$x$$ руб., тогда 1 м шерсти стоит $$x+120$$ руб. По условию:

$$ 4(x+120)=6x+20. $$

$$ 4x+480=6x+20 $$

$$ 460=2x $$

$$ x=230. $$

Значит, 1 м шёлка стоит $$230$$ руб.

5) Пусть по плану токарь должен был обтачивать $$x$$ деталей в час. Тогда фактически он обтачивал $$x+2$$ детали в час. За день по плану нужно было обработать одно и то же количество деталей:

$$ 8x=7(x+2). $$

$$ 8x=7x+14 $$

$$ x=14. $$

Тогда за день по норме токарь должен обработать:

$$ 8\cdot 14=112 $$

деталей.

6) Пусть потребуется $$x$$ трёхлитровых банок. Тогда варенья заготовлено $$3x$$ л. Если разложить его в двухлитровые банки, их будет на 9 больше, то есть $$x+9$$ банок, и всего варенья будет $$2(x+9)$$ л. Получаем:

$$ 3x=2(x+9). $$

$$ 3x=2x+18 $$

$$ x=18. $$

Тогда всего варенья:

$$ 3\cdot 18=54\text{ л}. $$

7) Пусть скорость автобуса в первой половине пути равна $$x$$ км/ч. Тогда на первую половину пути, равную $$200$$ км, он затратил $$200:x$$ ч. На вторую половину пути автобус ехал со скоростью $$x+10$$ км/ч и затратил $$200:(x+10)$$ ч. По условию потерянный час был наверстан, значит:

$$ \frac{200}{x}+\frac{200}{x+10}= \frac{400}{x}-1. $$

Умножим на $$x(x+10)$$:

$$ 200(x+10)+200x=(400-x)(x+10). $$

$$ 400x+2000=400x+4000-x^2-10x $$

$$ x^2+10x-2000=0. $$

$$ D=100+8000=8100,\quad \sqrt{D}=90 $$

$$ x=\frac{-10+90}{2}=40. $$

Значит, первую половину пути автобус проехал со скоростью $$40$$ км/ч.

8) Пусть скорость поезда по расписанию равна $$x$$ км/ч. Тогда после задержки поезд шёл со скоростью $$x+10$$ км/ч. За $$80$$ км он нагнал опоздание $$\frac{4}{15}$$ ч, значит:

$$ \frac{80}{x}-\frac{80}{x+10}=\frac{4}{15}. $$

Умножим на $$15x(x+10)$$:

$$ 1200(x+10)-1200x=4x(x+10). $$

$$ 12000=4x^2+40x $$

$$ x^2+10x-3000=0. $$

$$ D=100+12000=12100,\quad \sqrt{D}=110 $$

$$ x=\frac{-10+110}{2}=50. $$

Скорость поезда по расписанию равна $$50$$ км/ч.

Ответ

1) $$14$$ м и $$5$$ м; $$10$$ м и $$7$$ м.
2) $$256\text{ см}^2$$ и $$210\text{ см}^2$$.
3) $$20$$ руб. и $$15$$ руб.
4) $$230$$ руб.
5) $$112$$ деталей.
6) $$54$$ л.
7) $$40$$ км/ч.
8) $$50$$ км/ч.