Упр.113 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий любые две его несоседние вершины.
2) Какие из отрезков на чертеже являются диагоналями четырёхугольников? Сколько всего диагоналей у четырёхугольника? Можно ли отнести полученный вывод к прямоугольникам, квадратам? Почему?
3) Сколько диагоналей у пятиугольника, шестиугольника, семиугольника? Сформулируй гипотезу о числе диагоналей у n-угольника, проверь её для n = 3, 4, 5, 6 и попробуй обосновать. Пользуясь установленной закономерностью, найди число диагоналей 100-угольника, 1000-угольника.

1) Определяемое понятие — диагональ.

2) Диагоналями являются отрезки NL и FZ.

Отрезок NL — диагональ четырёхугольника MNQL, а отрезок FZ — диагональ четырёхугольника VFKZ.

У четырёхугольника всего 2 диагонали.

Это верно и для прямоугольников, и для квадратов, потому что они тоже являются четырёхугольниками.

3) Найдём число диагоналей у многоугольников:

у пятиугольника — 5 диагоналей,

у шестиугольника — 9 диагоналей,

у семиугольника — 14 диагоналей.

Для n-угольника из каждой вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних, то есть всего к n — 3 вершинам. Тогда получится n(n — 3) диагоналей, но каждая диагональ посчитана дважды, поэтому:

$$\frac{n(n-3)}{2}$$

Проверим формулу:

при $$n=3$$:

$$\frac{3(3-3)}{2}=0$$

при $$n=4$$:

$$\frac{4(4-3)}{2}=2$$

при $$n=5$$:

$$\frac{5(5-3)}{2}=5$$

при $$n=6$$:

$$\frac{6(6-3)}{2}=9$$

Теперь найдём число диагоналей:

для 100-угольника:

$$\frac{100(100-3)}{2}=\frac{100\cdot97}{2}=50\cdot97=4850$$

для 1000-угольника:

$$\frac{1000(1000-3)}{2}=\frac{1000\cdot997}{2}=500\cdot997=498500$$

Ответ

1) Диагональ.

2) Диагонали: NL и FZ; у четырёхугольника 2 диагонали; у прямоугольника и квадрата тоже по 2 диагонали.

3) У пятиугольника — 5, у шестиугольника — 9, у семиугольника — 14. У n-угольника число диагоналей равно $$\frac{n(n-3)}{2}$$. У 100-угольника — 4850, у 1000-угольника — 498500.