Упр.107 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
1) У Вити было на 80 р. больше, чем у Маши. Когда Витя потратил половину своих денег, у него стало на 10 р. меньше, чем было у Маши. Сколько денег было у Маши и Вити вместе первоначально?
2) В трёх поселках живут 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем на 500 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке?
3) Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 30 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 4 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 90 км?
4) Пешеход должен был пройти 12 км за определённый срок, но он был задержан с выходом на 1 ч. Поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шёл пешеход, если он пришёл вовремя?
1) Пусть у Маши было $$x$$ руб., тогда у Вити было $$x+80$$ руб. После того как Витя потратил половину своих денег, у него осталось $$\frac{x+80}{2}$$ руб. По условию это на 10 руб. меньше, чем было у Маши, значит:
$$\frac{x+80}{2}+10=x.$$
Решим уравнение:
$$ x+80+20=2x \\ x+100=2x \\ x=100 $$
Тогда у Вити было $$100+80=180$$ руб. Вместе первоначально у них было:
$$100+180=280.$$
2) Пусть в первом поселке было $$x$$ жителей. Тогда во втором — $$2x$$ жителей, а в третьем — $$2x-500$$ жителей. По условию всего 6000 жителей:
$$x+2x+(2x-500)=6000.$$
Решим уравнение:
$$ 5x-500=6000 \\ 5x=6500 \\ x=1300 $$
Во втором поселке было:
$$2x=2\cdot1300=2600.$$
3) Пусть скорость велосипедиста равна $$x$$ км/ч, тогда скорость мотоциклиста равна $$x+30$$ км/ч. Время в пути велосипедиста:
$$\frac{90}{x},$$
а мотоциклиста:
$$\frac{90}{x+30}.$$
По условию велосипедист затратил на 4 ч больше:
$$\frac{90}{x}-\frac{90}{x+30}=4.$$
Решим уравнение:
$$ 90(x+30)-90x=4x(x+30) \\ 2700=4x^2+120x \\ x^2+30x-675=0 $$
$$ D=30^2+4\cdot675=3600,\quad \sqrt{D}=60 $$
$$ x=\frac{-30+60}{2}=15 $$
Значит, скорость мотоциклиста:
$$15+30=45$$ км/ч.
4) Пусть пешеход шёл со скоростью $$x$$ км/ч. Тогда по плану он должен был идти время
$$\frac{12}{x}$$
ч, а после задержки — со скоростью $$x+1$$ км/ч и затратил
$$\frac{12}{x+1}$$
ч. Так как он пришёл вовремя, то:
$$\frac{12}{x+1}+1=\frac{12}{x}.$$
Решим уравнение:
$$ 12x+(x+1)x=12(x+1) \\ 12x+x^2+x=12x+12 \\ x^2+x-12=0 \\ (x-3)(x+4)=0 $$
Подходит только положительное значение:
$$x=3.$$
Ответ
1) $$280$$ руб.; 2) $$2600$$ жителей; 3) $$45$$ км/ч; 4) $$3$$ км/ч.
