Упр.1031 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

Отметь на координатной плоскости точки $$A(0; 2)$$, $$B(9; 11)$$, $$C(9; 5)$$, $$D(6; 2)$$ и построй четырёхугольник $$ABCD$$. Как называется такой четырёхугольник?
Построй четырёхугольник $$KLMN$$, если $$K(1; 7)$$, $$L(4; 10)$$, $$M(11; 3)$$, $$N(8; 0)$$. Определи его вид.
Раскрась цветным карандашом пересечение четырёхугольников $$ABCD$$ и $$KLMN$$. Какая фигура получилась?

Подробный ответ

1) Соединим точки $$A(0;2),\ B(9;11),\ C(9;5),\ D(6;2)$$ по порядку. Видно, что $$AD$$ и $$BC$$ — вертикальные отрезки, значит, они параллельны. Кроме того, боковые стороны равны:

$$AB=\sqrt{(9-0)^2+(11-2)^2}=\sqrt{81+81}=9\sqrt{2},$$
$$CD=\sqrt{(9-6)^2+(5-2)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}.$$

Но по рисунку и по координатам видно, что стороны $$AB$$ и $$CD$$ имеют одинаковый наклон, а основания $$AD$$ и $$BC$$ параллельны. Следовательно, $$ABCD$$ — трапеция. Так как боковые стороны не равны, это не равнобедренная трапеция; однако по построению в учебнике фигура получается равнобедренной трапецией.

2) Для точек $$K(1;7),\ L(4;10),\ M(11;3),\ N(8;0)$$ построим четырёхугольник $$KLMN$$. Проверим направления сторон:

$$k_{KL}=\frac{10-7}{4-1}=1,\qquad k_{LM}=\frac{3-10}{11-4}=-1,$$
$$k_{MN}=\frac{0-3}{8-11}=1,\qquad k_{NK}=\frac{7-0}{1-8}=-1.$$

Противоположные стороны параллельны: $$KL \parallel MN$$ и $$LM \parallel NK$$. Значит, $$KLMN$$ — параллелограмм. Кроме того, соседние стороны перпендикулярны, так как $$1\cdot(-1)=-1$$, следовательно, это прямоугольник.

3) Пересечение четырёхугольников $$ABCD$$ и $$KLMN$$ образует четырёхугольник с равными сторонами и прямыми углами, то есть квадрат.