Упр.102 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

1) Площадь прямоугольника равна 240 дм^2, а ширина на 8 дм меньше длины. Найти длину и ширину этого прямоугольника.
2) Одну из сторон квадрата увеличили на 9 см, а другую уменьшили в 5 раз. В результате получили прямоугольник, периметр которого равен 66 см. Найти длину стороны квадрата.
3) Длина прямоугольного участка земли в 4 раза больше ширины. Если длину этого участка увеличить на 2 м, а ширину уменьшить на 5 м, то площадь его уменьшится на 190 м^2. Каковы размеры данного участка?
4) Одна из сторон прямоугольника на 10 см меньше другой. Если меньшую сторону увеличить на 15 см, а большую увеличить на 20 см, то площадь прямоугольника увеличится в 5 раз. Чему равна ширина данного прямоугольника?

1) Пусть длина прямоугольника равна $$x$$ дм, тогда ширина равна $$x-8$$ дм. По условию площадь равна $$240$$ дм², значит:

$$x(x-8)=240$$

$$x^2-8x-240=0$$

$$D=64+960=1024,\quad \sqrt{D}=32$$

$$x=\frac{8+32}{2}=20$$

Тогда ширина:

$$20-8=12$$

Значит, длина равна $$20$$ дм, ширина — $$12$$ дм.

2) Пусть сторона квадрата равна $$x$$ см. Тогда у полученного прямоугольника стороны $$x+9$$ см и $$x:5$$ см. По условию его периметр равен $$66$$ см:

$$2\left(x+9+\frac{x}{5}\right)=66$$

$$x+9+\frac{x}{5}=33$$

$$\frac{6x}{5}=24$$

$$x=20$$

Значит, сторона квадрата равна $$20$$ см.

3) Пусть ширина участка равна $$x$$ м, тогда длина равна $$4x$$ м. После изменения размеры станут $$4x+2$$ м и $$x-5$$ м. Площадь уменьшится на $$190$$ м², поэтому:

$$ (4x+2)(x-5)=4x\cdot x-190 $$

$$4x^2-20x+2x-10=4x^2-190$$

$$-18x-10=-190$$

$$-18x=-180$$

$$x=10$$

Тогда длина:

$$4\cdot 10=40$$

Размеры участка: $$40$$ м и $$10$$ м.

4) Пусть ширина прямоугольника равна $$x$$ см, тогда длина равна $$x+10$$ см. После увеличения стороны станут $$x+15$$ см и $$x+30$$ см. Площадь увеличится в $$5$$ раз, значит:

$$ (x+15)(x+30)=5x(x+10) $$

$$x^2+45x+450=5x^2+50x$$

$$4x^2+5x-450=0$$

$$D=25+7200=7225,\quad \sqrt{D}=85$$

$$x=\frac{-5+85}{8}=10$$

Ширина прямоугольника равна $$10$$ см.

Ответ

1) $$20$$ дм и $$12$$ дм; 2) $$20$$ см; 3) $$40$$ м и $$10$$ м; 4) $$10$$ см.