Упр.1012 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

2) Измерь стороны и углы четырёхугольника ABCD и установи как можно больше его свойств.

Найдём координаты точки пересечения диагоналей. Диагональ $$BD$$ проходит через точки $$B(8;11)$$ и $$D(8;1)$$, значит, она лежит на прямой $$x=8$$.

Диагональ $$AC$$ проходит через точки $$A(2;3)$$ и $$C(14;9)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{9-3}{14-2}=\frac{6}{12}=\frac12.$$

Уравнение прямой $$AC$$:

$$y-3=\frac12(x-2).$$

Подставим $$x=8$$:

$$y-3=\frac12\cdot 6=3,$$

$$y=6.$$

Значит, точка пересечения диагоналей:

$$O(8;6).$$

Теперь установим свойства четырёхугольника. Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(8-2)^2+(11-3)^2}=\sqrt{36+64}=10,$$

$$BC=\sqrt{(14-8)^2+(9-11)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}\approx 6{,}3,$$

$$CD=\sqrt{(8-14)^2+(1-9)^2}=\sqrt{36+64}=10,$$

$$DA=\sqrt{(2-8)^2+(3-1)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}\approx 6{,}3.$$

Получаем:

$$AB=CD,\qquad BC=DA.$$

Противоположные стороны попарно равны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$. По рисунку:

$$\angle A=\angle C=72^\circ,\qquad \angle B=\angle D=108^\circ.$$

Кроме того, диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то есть $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.

Ответ

$$O(8;6).$$ Четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм. Его свойства: $$AB=CD$$, $$BC=AD$$, $$\angle A=\angle C=72^\circ$$, $$\angle B=\angle D=108^\circ$$, диагонали делятся точкой пересечения пополам.