Упр.542 ГДЗ Бунимович 5 класс (Математика)

Задача

Вычислите сумму, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:
а) $$2\frac{1}{4}+2\frac{1}{2}+3\frac{1}{4}+3\frac{1}{2}+4\frac{1}{4}+4\frac{1}{2}+5\frac{1}{4}+5\frac{1}{2}$$;
б) $$1\frac{1}{3}+4\frac{1}{6}+1\frac{3}{4}+2\frac{2}{3}+3\frac{1}{4}$$.
Подставьте в дробь $$\frac{a}{b}$$ вместо $$a$$ и $$b$$ числа от 1 до 5 всеми возможными способами.
а) Сколько среди полученных чисел правильных дробей и сколько — неправильных?
б) Сколько дробей представляют натуральные числа и сколько среди них представляют число 1?

Подробный ответ

а) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми дробными частями:

$$2\frac14+2\frac12+3\frac14+3\frac12+4\frac14+4\frac12+5\frac14+5\frac12$$
$$=\left(2\frac14+3\frac14+4\frac14+5\frac14\right)+\left(2\frac12+3\frac12+4\frac12+5\frac12\right)$$
$$=(14+1)+(14+2)=15+16=31.$$

б) Аналогично сгруппируем удобным образом:

$$1\frac13+4\frac16+1\frac34+2\frac23+3\frac14$$
$$=\left(1\frac13+2\frac23\right)+\left(1\frac34+3\frac14\right)+4\frac16$$
$$=(3+\frac13)+(4+\frac14)+4\frac16$$
$$=4+5+4\frac16=9+4\frac16=13\frac16.$$

Подставим в дробь $$\frac{a}{b}$$ вместо $$a$$ и $$b$$ числа от 1 до 5 всеми возможными способами.

Получаем дроби:

$$\frac11,\frac12,\frac13,\frac14,\frac15; \frac21,\frac22,\frac23,\frac24,\frac25; \frac31,\frac32,\frac33,\frac34,\frac35; \frac41,\frac42,\frac43,\frac44,\frac45; \frac51,\frac52,\frac53,\frac54,\frac55.$$

Правильные дроби — это те, у которых числитель меньше знаменателя. Таких дробей 10.

Неправильные дроби — остальные, их 15.

Натуральные числа дают дроби, у которых числитель делится на знаменатель без остатка: это $$\frac11,\frac22,\frac33,\frac44,\frac55$$ и ещё $$\frac21,\frac31,\frac41,\frac51,\frac42$$? Нет, натуральные числа представляют только дроби, равные целому числу. Среди всех полученных дробей таких 10.

Число $$1$$ представляют дроби:

$$\frac11,\frac22,\frac33,\frac44,\frac55.$$

Их 5.