Упр.349 ГДЗ Бунимович 5 класс (Математика)

ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Как известно, простое число имеет два делителя. А сколько делителей имеет квадрат простого числа? куб простого числа? четвёртая степень простого числа? Выясните это на конкретных примерах.
2) Как вы думаете, сколько делителей имеет пятая степень простого числа? шестая степень? десятая степень?
3) Перечислите все делители числа 3125; числа 64. Подсказка. 3125 = 5^5, 64 = 2^6.

Ищем двузначные простые числа, состоящие из разных цифр, которые после перестановки цифр тоже дают простое число.

Проверим такие пары чисел:

$$13 \leftrightarrow 31$$
$$17 \leftrightarrow 71$$
$$37 \leftrightarrow 73$$
$$79 \leftrightarrow 97$$

Все эти числа простые, и после перестановки цифр тоже получаются простые числа.

Ответ

$$13,\ 17,\ 31,\ 37,\ 71,\ 73,\ 79,\ 97$$

Ход решения

1) У простого числа ровно два делителя. Если число равно $$p^n$$, где $$p$$ — простое число, то его делители имеют вид:

$$1,\ p,\ p^2,\ \ldots,\ p^n$$

Значит, число $$p^n$$ имеет $$n+1$$ делитель.

Например:

$$5^2=25$$, делители: $$1,\ 5,\ 25$$ — всего 3.
$$3^3=27$$, делители: $$1,\ 3,\ 9,\ 27$$ — всего 4.
$$2^4=16$$, делители: $$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16$$ — всего 5.

2) Тогда:

пятая степень простого числа имеет $$5+1=6$$ делителей;
шестая степень — $$6+1=7$$ делителей;
десятая степень — $$10+1=11$$ делителей.

3) Так как $$3125=5^5$$, его делители:

$$1,\ 5,\ 25,\ 125,\ 625,\ 3125$$

Так как $$64=2^6$$, его делители:

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64$$

Ответ

1) $$3,\ 4,\ 5$$ делителей соответственно.
2) $$6,\ 7,\ 11$$ делителей.
3) Делители числа $$3125$$: $$1,\ 5,\ 25,\ 125,\ 625,\ 3125$$.
Делители числа $$64$$: $$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64$$.